Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Z/2). . ., Lm, Ls, . . Lm-1, Si, 2, . . ., Sm-3, 2
с помощью формул, аналогичных формулам (5.7), в которых операторы Dm надо заменить на операторы Dm-z, 2, действие которых на произвольную функцию F переменных qt, pit q3, р}-, qw, pw описывается соотношениями
Дп-2,2^ =
Ті—і, j
Таким образом, вместо неавтономной системы с функцией Гамильтона (8.6) можно нормализовать автономную систему (но с числом степеней свободы, на единицу большим) с функцией Гамильтона (8.11). При этом предлагаемая здесь процедура нормализации будет отличаться от обычной нормализации автономной системы с тремя степенями свободы в окрестности положения равновесия только тем, что при вычислении скобок Пуассона в величинах (5.7), а также при получении явного вида (5.9) рассматриваемого преобразования надо проводить дифференцирование не по всем переменным qt, pt, qj, р}-, qw, pw, а только по переменным qt, qj, Pi, Pj.
В функцию Гамильтона (8.11) члены qi: pt, qj, р} входят только квадратичным образом (в (8.12) v2 ¦+ v3 + + fi3 = 2).
Поэтому помешать нормализации могут только резонансы вида (8.2).
9F т-2,2 ЭР dSm-2.2
д«к дР]( дРк a9jc
g 8] ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 225
Пусть выполнено резонансное соотношение (8.2). Тогда нормальная форма функции Гамильтона (8.11) будет такой:
___ IJVI+1
+ a Vr^-ri sin (2ф{ — Яфи,) + О (г w 2 ), (8.14)
где ____ ___
д* = У2rk sin <рк, pt = У2гк cos срк (к = г, w). (8.15)
В (8.14) величины с2т, г, c2m, j и а являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований, а N — Iі/г | N |], где квадратные скобки обозначают операцию вычисления целой части числа.
Замена qt, pt, д}, Pj-*~qt, pt, q*, p* осуществляется по формулам, аналогичным формулам (5.9), в которых операторы Dn надо заменить на операторы Dn-2,21 получаемые по функциям Sn-2,2. Из вида этих операторов также следует, что фиктивные переменные qw, pw после проведенной нормализации не изменились.
Сделаем теперь преобразование, обратное к (8.10), возвратимся к старой независимой переменной и зададим еще преобразование rh w г?, w* по формулам
Г1~ Г1 + = Гі "Іт “Ь ^2,2 + • • м w = w*, (8.16)
где
?>т, 2 = ^Qw Pw ) Sm, 2 (т = 1,2,...). (8.17)
Тогда, вместе с описанным выше преобразованием переменных Qi, Pi, Qj, Pj, получим каноническое преобразование, нормализующее функцию (8.3) по всем переменным. В резонансном случае нормальная форма будет такой:
К2= 2 &Л +Ae\Nkisin(2(pi — Nw) + 0(e\N'+i), (8.18)
7С=І» j, I
а в нерезонансном —
#2= 2 + О (е1*1+1). (8.19)
k=i, j, I
В (8.18) и (8.19) введены обозначения
Пк = 2 Q(fen)e2n (k = г, /), (8.20)
П=0
8 А. П. Маркеев
226
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ Lt
ІГЛ. 12
а<°> = л*, пГ = ^ аГ> + Yj ^2<n'm).
А = akfi
тп=1
I-'VI 2
Рассмотрим случай параметрического резонанса. Из точек на оси 0\і, для которых выполнено соотношение (8.2), при малых значениях параметра е будут исходить области параметрического резонанса (области неустойчивости линейной системы с гамильтонианом (8.18)). Согласно [97] (см. также главу 2), границы областей параметрического резонанса в наших обозначениях запишутся так:
К
Oj J— Qj
(8.21)
При этом, если левая часть последнего соотношения будет меньше правой, то рассматриваемое периодическое движение будет неустойчиво, а если больше, то имеет место устойчивость в линейном приближении.
В плоскости параметров {л, є уравнения кривых, выделяющих области параметрического резонанса, будем искать в виде рядов
m=і
(8.22)
Величины Qjf (к — і, І) представим в виде рядов по степеням отклонений (А от порождающей точки ц(°) оси О,-1:
1 dmQk
т\
дуГ
ц=ц(0)
(8.23)
Подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23), а затем получившиеся выражения подставляя в уравнение границы области параметрического резонанса (8.21) и приравнивая члены одинакового порядка по е (до членов elNl включительно), найдем коэффициенты разложения ц по параметру е:
\Я\ = 1,
т = 2,
|ЛГ| = 3,
[xW =±
|1<Ч =0, |і(Ч =0,
А,
|l(a>
ц(а>
б±
б,
А,
i.<3)
|iV| = т, =0, ц<2> =8, ц<3> =0,.
(8.24)
(8.25) (8.26
(8.27)
РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ
227
где
В (8.24) — (8.26) знаки «±» означают, что даются уравнения сразу двух границ области параметрического резонанса.
§ 9. Резонансные кривые третьего и четвертого порядков
Пусть теперь параметры задачи таковы, что имеет место устойчивость рассматриваемого периодического движения (5.15) в линейном приближении. Тогда, проведя нормализацию линейной системы указанным в § 8 способом, функцию Гамильтона (6.4) можно привести к виду
Здесь точками обозначены члены более высокого порядка относительно є (или относительно величин qw, pw из § 8).
Для выяснения вопроса об устойчивости в строгом (нелинейном) смысле процесс нормализации функции Гамильтона надо продолжить.
При нелинейной нормализации гамильтониана (9.1) могут проявиться эффекты резонансов третьего и четвертого порядков
где N — произвольное целое число, a (к = I, i, j) определены формулами (8.4) и (8.20). Если рассматривается плоская задача, то будем считать rij = 0.
Прежде чем перейти к описанию процесса нелинейной нормализации, заметим, что в плоскости параметров |і, є соотношение (9.4) представляет собой уравнение резонансной кривой, исходящей из
