Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. О методе исследования. Предварительное
преобразование функции Гамильтона
Основные этапы построения периодических движений и анализа ихустойчивости состоят в следующем [144]. Сначала найдем полный интеграл S (х, у, аъ а2, т) уравнения Гамильтона — Якоби, соответствующего «невозмущенному» гамильтону R0. Полный интеграл S и соотношения dS/dat = рг (аг, рг — const) дают решение х = х0 (осг, Рг, т), у = уо (аг, р*, т), рх = рХа (аг, рг, т), ру = = рУо (аг, рг, т). Для исследования «возмущенного» движения (т. е. движения, описываемого полной функцией Гамильтона (2.1)) делаем замену переменных х, у, рх pv —*¦ а1г а2) Pi, р2 при помощи формул х = х0, у = у0, рх = рХа, Ру = Ру,. Новый гамильтониан R имеет вид
R = R + = Ri + -f- R$ + Rii
где функции Ri (і = 1, 2, 3, 4) выражены через ait р*.
Затем к системе с функцией Гамильтона Я применяем теорию возмущений Депри-Хори, описанную в главе 11. В результате получим функцию Гамильтона, содержащую только долгопериодические члены. Сделав затем несложное каноническое преобразование, можно из гамильтониана исключить независимую переменную т.
В новых переменных искомые периодические движения соответствуют положениям равновесия. Так как независимая переменная теперь явно не входит в функцию Гамильтона, то нахождение положений равновесия и исследование их устойчивости не представляют больших трудностей.
И, наконец, для представления периодических движений в исходной системе координат Ь^ху надо сделать несколько канонических преобразований, обратных описанным выше.
Для осуществления намеченной схемы исследования удобно предварительно сделать каноническое преобразование, приводящее гамильтониан R0 к нормальной форме. Характеристическое уравнение, соответствующее этому гамильтониану, имеет вид
X* + (і - 4- т») X* + ^-ц(1 - И) (1 + -Ї)2 = 0- (З-1)
Это уравнение имеет две пары чисто мнимых корней ±ш1(
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА
257
± ІЩ, где
о)! = 0,949313, оз2 = 0,300684.
Следовательно, «невозмущенное» движение устойчиво. Теперь при помощи линейного канонического преобразования введем переменные qt, pt так, чтобы в этих переменных невозмущенный гамильтониан принял нормальную форму, а сами переменные qi, pi имели нулевой порядок относительно т, что позволяет ввести в новый гамильтониан малый параметр т в явном виде. Искомая замена переменных такова:
(3.2)
X Чл
У = А Чг
Рх Рі
Ру Рг
где матрица А имеет вид [144]
0 0
А =
Ъ-(,Л
сог
К+ь) ~ш,К+ь)
““ 2/cj(0i —/c1oj1(co^-)- Ь—2) fe1r)cot
fe2T)C02
fei
—ST1
*1
(02
Clio
В (3.3) введены следующие обозначения:
З /, , m2\ , 9
З /л і ™?\ и 9 {я . m2\ 31^3 ТТ I. m2\
а = — Iі +-Г)’ b = —[i + —)' T1=— +
(3.3)
ks =
V cd*)(<o® + 6)
(i = 1, 2).
Новый гамильтониан H = Rlrrfi. Его квадратичная часть Н0 выглядит следующим образом:
Но — ~n~(Pl + ®l?l) —~п-(Ръ + ®2?2)-
(3.4)
Для решения уравнений, соответствующих невозмущенному гамильтониану Н0, удобно ввести канонические переменные действие а; и угол р,- по формулам
<7i = (— l)i+1 у sin Рь pi = (— 1 )*+ї V 2©^ cos ft (? = 1,2). ' І
(3.5)
9 А. П. Маркеев
258
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 13
ЗРі
(3.6)
оф2 ____дН0 _______ dai
(3.7)
dt 9 си 2' dx
d~h
Решение этих уравнений записывается так:
Ра = щх + ах = аъ
Ра = ©jT “І- Рї) р2 = ®2>
(3-8)
где aj, Рг — константы интегрирования. Это как раз те постоянные, которые содержатся в решении невозмущенных уравнений, получаемом из уравнения Гамильтона — Якоби, соответствующе-
Теперь, согласно плану исследования, намеченному в начале этого параграфа, примем at, рг за новые канонические переменные. Гамильтониан Н, описывающий изменение переменных аг, рг в возмущенной задаче, будет таким:
а Rn — функции из разложения (2.1), в которых переменные х, у, рх, Ру заменены через аіг pi при помощи формул (3.2), (3.3), (3.5) и (3.8), Нп = О (1). Явные выражения для Нп выписаны в работе Кэмила [144].
Уравнения движения, соответствующие гамильтониану (3.9), имеют вид
го Н0.
где
(3.9)
ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ГАМИЛЬТОНИАНА
259
§ 4. Долгопериоднческая часть гамильтониана и исключение независимой переменной
Теперь нужно выполнить следующий весьма громоздкий шаг исследования. При помощи метода Депри — Хори нужно сделать каноническую замену переменных а;,рг аг, рг. При этом используются уравнения (4.25) и (4.27) главы 11. Из этих уравнений функции Wn находятся такими, чтобы исключить из нового гамильтониана К все короткопериодические члены. В переменных <5(, рг новый гамильтониан К будет содержать долгопериодические члены с частотами — cos, — Зсо2, — сое и их комбинациями.
Наличие двух «внешних» частот со5 и сое приводит к довольно сложным дифференциальным уравнениям упрощенной системы с гамильтонианом К. В работе [144] сделана попытка исключить все члены с частотой сое. Оказалось, что это можно сделать, так как процедура их исключения не приводит к появлению больших по величине коэффициентов в производящей функции W преобразования аг, рг аг, рг. Следует еще добавить, что при получении
