Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 40. Плоская .. модель для описания движения КА вблизи с учетом солнечных возмущений.
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТАХ
253
Луна — Солнце — КА. Рассматривается только плоская задача, т. е. предполагается, что Земля, Луна, Солнце и КА во все время движения находятся в одной плоскости. Это предположение оправдано тем, что из анализа, проведенного Шехтером, следует, что пространственность движения несущественна в рассматриваемой задаче о периодических движениях КА. Точка L4 определяется как треугольная точка либрации, соответствующая «средней Земле» и «средней Луне». Предполагается, что барицентр В движется относительно Солнца по круговой орбите, орбита Луны относительно барицентра — также круговая. Средняя угловая скорость п движения Луны относительно барицентра равна 0,23 рад/сут. За единицу длины принимается расстояние D между Землей и Луной, равное 386 ООО км.
Цифрами (1), (2) и (3) на рис. 40 обозначены соответственно реальные положения Земли, Луны и Солнца. Величина (г = 1/82,3 представляет собой отношение массы Луны к сумме масс Луны и Земли, величина ns — средняя угловая скорость барицентра В относительно Солнца. Принимается, что
— = т = 0,074801.
п
Величины v(f), хт и ут, смысл которых ясен из рис. 40, вычислены в работе Кэмила [1441 при помощи теории Луны Понтекулана [84, 164]. В дальнейшем в этой главе за независимую переменную принимается величина т = nt.
Пусть х ж у обозначают координаты КА относительно системы координат Ьцху (см. рис. 40), а рх и ру — соответствующие им импульсы.
Примем т за основную величину, необходимую для сравнения порядков малости различных величин, входящих в функцию Гамильтона. Будем считать, что х, у, рх и ру имеют первый порядок малости относительно т. Среднее значение эксцентриситета орбиты Луны также имеет первый порядок малости: е = 0,0549 = => 0,734-т. В [144] получено, что функция Гамильтона R движения КА вблизи L4 с точностью до величин шестого порядка малости имеет вид
4
Щ = 2 Rn (*?» у, Рх, ру, ^), (^*1)
п=о
где
#0 = ІР* + РІ) + (УРх — хру) + (х2 — 5у2 — 6 уз Uху) —
-^гт?{х* + Ъу* + 2УЪиху), (2.2)
254
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
(х2у + у3) + (33 ху2 — 7 3?) —
— К* — VSу) COS es — (у -ff КЗ*) sin ел +
4" Iа ІУтіРх — xmlPy — (xmlPx 4~ 1/mlPy) + З/З
[ГЛ. її
+ (уml ¦
U (5 х3у — 9 ху3)
5/3
32
' %mi
37
128
^jy — (яхті H------Ут
)*], (2.3)
123
64
¦х‘у* —
128 У
m2 [(x2 — у2) cos 20s — 2*2/ sin 20s] +
4" h1 \іУт2,Рх —• хтгРу) — (i-m'lPx 4" fjrniPy) +
. / 3/3 \ /„ ,3/3 \
4" \ Ут2 — 2— xm2 JV — ^2*m2 -|--------2 2/m2 ) x 4"
+[(lit/2 — 7a:2)жт1 + 22жг/г/т1] + -ІЦр- (і [ж?/т1 + yxmi]|, (2.4)
i?3 =
[У3 (960x2y3 — 285x*y — 33г/5) + 23z5 — 430x3y2 + 555*г/4] —
256
З ти2 16 roR
[(З* + У З 2/) cos 6S — (У ЗX + 5у) sin 6S] +
+ Iа ^(УтзРх — хтзРу) — (%тзРх 4" УтзРу) +
4" {у-т. з ---ТГ~ xmsj У — (2Хгпз Н---------ТГ“" Утз^ х 4"
+ -§- [(Иу2 — 7х2) zm2 + 22хі/ут2] + —(хутг + ухт2) +
й4
1024
+ -|-(і [(7л:2 — 11 у2)хт1 — 22хуут1]} +
+ іг Ч?~ у + у*) + ~ш (33rjy2 ~ 1х^
[У3 (294х6у — 420х3у3 — 714г у6) —
— ЗЗЬв + 6105®Y — Ш5х2у* + 383у*] —
[(я — 5 У З у) cos в., — 3 іУЬх + у) sin 0S] +
°гзв
(2.5)
3/3
Хті )У
4" ^ ^(ї/тіРж хтіРу) (ІтіРх 4" УтіРу)~\- (^Ут4 ¦
— (2хті + ^~~Уті^х + [(И?/2 — ІОС^Хтз + 22Хуутз\ 4"
+ (А [хут з + УХт з] + "g" Iа 17х2 ~ Иу2)хт2 ~ 22xyym2\\j +
тИ‘ (2'6)
5/3
(5 х3у — 9 ху3)
d 123 2 *4-~647 х У
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТАХ
255
В разложении (2.1) ц считается величиной первого порядка жалости (так как ц = 1/82,3 = 0,16244 тп), U = 1—2 ц. — величиной нулевого порядка. Через гзВ обозначено среднее расстояние от барицентра В до Солнца
1/гзВ = 0,002559= 0,457357-/те2.
Точкой в формулах (2.3) — (2.6) обозначено дифференцирование ло т, xmlt, Уть — величины порядка т*. При этом
хт = Хт1 + хт2 + •’-тз + (2*7)
где
*^mi — — (¦ COS 0g,
хтг =------е2 -|—е2 cos 20e —-g~em cos (20s — 0«) — т2 cos 20s,
хтз — ~^~еа cos0е------е3 cos 30е + - j-ет2cosве +
+ ет2 cos (20s + 0е)-------ет2 cos (204 — 0е) —
— -^-m3 cos 20s + -^-^cos0s, (2.8)
9е; кл і
Хт\ = 250- т* cos 40s----g-m4 cos 20s + m4 +
, 81 m2 n 25 m2 OQ COS 0. a?----------------COSO0.,
1 16 r3B — 64 r8B
И
Ут — Уті + Утъ + Ут з + Уті, (2-9)
где
Ут = 2е sin0e,
У m2 = 4" е2 sin 20е + -^етп sin (20s — 0е) + m? sin 20s,
14 1 7
У m3 = J2 еЭ sin 30e-----4~е3 sin 0e + 16 em2 sin (203 + 0e) +
+ Tg- e,n2 sin (20s — 0e) + m3 sin 20<> ~ "F sin 0S> (2-10)
Уті = Ц sin ^ т* sin 20s + -Ц- sin 305 — Sin 0S.
В разложениях для xmli и yml! в формулах (2.8) и (2.10) не выписаны члены четвертого порядка относительно е. Величины 0S и
6е, входящие в разложение функции Гамильтона (2.1), вычисляются по формулам
0„ = со5т, 0е = соет — "0е,
256
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. ІЗ
а через 0е обозначена начальная долгота перигея орбиты Луны относительно инерциальной линии (см. рис. 40). Отметим, что в «невозмущенный» гамильтониан і?0 разложения (2.1) для удобства включены все члены, квадратичные относительно х, у, рх, Ру и имеющие постоянные коэффициенты.
