Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
нового гамильтониана К из-за громоздкости проводимых вычислений и ограниченности вычислительных возможностей в [144] члены (е/т) учитывались только до третьей степени и только в К3.
С учетом сделанных замечаний в [144] найдена долгопериодическая часть нового гамильтониана К в виде
* = (41> п=1
где Кх = 0, а функции К2, К3 и содержат тригонометрические синусы и косинусы с аргументами
Ві —0„ 2 (В\ — 05), 5!-ЗВ2, Bi + 352-20s, (4.2)
где В1 = о^т + Рі, Вг = С02т — Р2.
Таким образом, долгопериодическая часть преобразованного) гамильтониана (4.1) содержит независимую переменную т явно.. Частоты соответствующих тригонометрических функций равны СЙ1 — cos, 2 (сох — со5), о»! — Зсо2 и о»! + Зсо2 — 2со5 и представляют собой малые величины. Чтобы из гамильтониана (4.1)1 исключить независимую переменную, введем новые переменные Рі , определяемые формулами
pf = вх — 05 = (со, — ©,) т + рп_
Зр* = 0, - 3В2 = (со, - Зсо2) т + 3fc. (4-d)
Из этих формул получаем
В, - ЗВ2 = РГ + Зр2, Вг. + ЗВ2 - 20s = р? - 3pf. (4.4)
9*
260 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
Сопряженные с Р? канонические переменные а* получаются при помощи производящей функции
S = <*Г (<V + Pi) + О* (агх + р2), (4.5)
где ох = ©! — со4, о2 = (®s — Зсо2)/3- Из (4.5) получаем
U dtS ^ с f Пі
«і!= -=- = Оі. (4.6)
Преобразованный, не зависящий от т, гамильтониан К* дается формулой
К* = К + ^ = K+e1at + etat. (4.7)
Переменные of, рГ удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
d<h _ _ ЭК* ^ ж*
dx - ер* ’ dx - да* ¦
Периодические движения КА соответствуют положениям равновесия системы (4.8). Но для нахождения положений равновесия удобнее будет перейти к прямоугольным декартовым координатам Qt, Рі, определяемым равенствами
Qt — V2(ога* sin pf, Pt = V2t0iaf cos pf (і = 1,;2). (4.9)
Отметим, что Qi/u>i и Pt являются канонически сопряженными переменными. После подстановки af и pf, выраженных через Qt, Рі, в функцию (4.7) получаем такое выражение для К* [144]:
(4Л0>
п=2
где
-щ-Kt = 4,418708# + 2,42737(}1Р1 + 0Д21254Р? + 2,292988$ + + 2,292988^2 + 0,028726$ + 0,057451$Р? + 0,028726^ + + 0,2765502$ - 7,168701$<?1 - 0,959853Q%Pi + + 0,5531008^2^*2 - 2,879588$Р2<?і + 21,5061$Р2РХ -
— 1,816528$# - 1,816528$Р? + 21,5061<?2^2<?і +
+ 2,879558^2^2^*1 + 0,2765502Р\ + 0,959853/^! -
- 7,168701Р\РХ - 1,816528/ЭД - 1,816528ВД,
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
261
-Jj- Kt = 0,672102(^1 + 0,543614^iPi - 0,672102Р? +
+ (-^г)2 [0,081621 (Q\ + Р\) + 1,487332 (Q\ + Р\)\ -
— 0,146701^1 — 0,398984/*!, -щ-К* = - 26,98928^1 + 1,65662(?Л - 32,26905Р? +
+ 20,07690 (Q\ + Р\) - 1,579912^1 + 0,572077Pi + 104,9922$ --_3148,167<?2<?1 + 2659,185$i\+ 314,9765^2+ 7977,554(?^2(?1 + + 9444,503$Р2і>і - 4509,578$$ - 4509,578^ + 110,3419$ + + 6296,335$Р&і - 5318,367$/^ + 6217,148$$ +
+ 958,7131$$і\ + 6217,148$^ - 78,47181$<?і +
+ 958,7131$Р? + 187,2936^1 + 314,9765$і* +5318,367$і*&і+ + 6296,335^Pi - 9019,156,$Pl$ - 9019, 156$ВД +
+ 220,6838^-^2 + 2876,139$Ра$ - 18651, UQ\P2Q\P1 +
+ 2876,139(?^2^і^ї - 550,5324$^, - 18651,44$іу>? -
- 456,7756<?1,Р2^і + 1,276611$$ + 2,553222Q\Q\P\ +
+ 140,0567QlQ\ - 521,3286(?^iPi+1,27611<?^ - 62,35282Q\P\ + + 9444,503^2P2^i - 7977,554^2^1 - 18651,44(уЭД -
- 2876,139<?2.P№i - 18651, AiQ2PlQ1 P] + 235,4333(2,/% -
- 2876,139<?2^^-561,8808<?2^^1 + 104,9922^ - 2659,185^1—
- 3148,167^Pi - 4509,578/>^ + 110,3419P? - 958,7131P®$ +
+ 6217,148^iP? + 183,5108P^i + 6217,148^? +
+ 152,2585^ + 1,276611 P\(& + 2,553222Р&ІРІ +
+ 140.0567ВД - 52l,328&PlQ1P1 + 1,27611^ - 62,35282P\P\-
- 0,136966$ - 0,410900$^ + 17,0185$ - 77,64935^^1-
- 0,410900$^ + 2,095039$Л2 - 77,64935^ - 0,136967P° -
-14,92347P[.
§ 5. Периодические орбиты и их устойчивость
В работе Кэмила [144] показано, что система уравнений (4.8) имеет три положения равновесия. Обозначим их через Е, (j = = 1, 2, 3). Соответствующие периодические движения также будем обозначать через Е3. Координаты ($, Pt) равновесных точек находятся из системы алгебраических уравнений ЭК* дК* дК* дК*
262
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Lt
[ГЛ. 13
Так как в гамильтониане (4.10) содержатся члены, линейные относительно Qi и Р1 (они обусловлены наличием солнечных возмущений и входят в Кз и К*), начало координат (совпадающее с точкой либрации LJ уже не будет положением равновесия. Но существует одно положение равновесия Еъ близкое к началу координат. Чтобы найти равновесную точку Ех, удержим в гамильтониане К* только линейные и квадратичные члены относительно Qt, Pt. Тогда
К* = cLQi + c2QlPl + с3Р{ +’ + С5Р2 4* csQi 4- ciPi, (5-2)
где
Cl = 4,418703 rrr + (0,672102 [m3 + 0,081621 me2) - 26,98928 m4,
c2 = 2,42737 m? + 0,543614 m3 + 1,65662 m\
c3 = 0,121254 m2 + (— 0,672102 m3 + 0,081621 me2)—
-32,26905 m\ (5.3) e4 = 2,292988 m? + 1,487332 me2 -f 20,0769 m4,J cs = c4
ce = — 0,146701 m3 — 1,-579912 m4, c7 = _ 0,398984 m3 + 0,572077 m\
Из (5.1) — (5.3) получаем, что близкое к началу координат положение равновесия Еу таково:
(Qi, Pi) = (0,008761, - 0,022543), (Qt, Ра) = (0, 0). (5.4)
