Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Найденное положение равновесия соответствует периодической орбите КА с периодом, равным одному синодическому месяцу. Ниже будет показано, что эта периодическая орбита неустойчива.
Как показано в работе [144], система уравнений (5.1) допускает еще два решения Е2 и Е3, которые соответствуют устойчивым периодическим орбитам. Координаты равновесных точек Е2 и Ег найдены в [114] в виде рядов по степеням т:
(Pi, <?i)2 = (1,7946, - 0,4718) + т (3,5027, - 0,8589) + О (т2),
(Рг, <?2)2 = (0, 0), (5.5)
(Рі, <?і)з = (-1,7946, 0,4718) + т (-'2,6381, 0,6825) + О (т2),
(Р*, &)з = (0, 0). (5.6)
Равновесные точки Ег и Е3 соотв етствуют периодическим орбитам КА с периодом, равным одному синодическому месяцу. Размеры этих двух орбит очень близки, но фазы периодических движений отличаются на 180°.
Для исследования устойчивости найденных периодических движений Ej (j — 1, 2, 3) выпишем квадратичную часть разложения гамильтониана К* в ряд по отклонениям бQit бPt (линейные относительно б Qit 8Рі члены в б К* уничтожаются, так как коорди-
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
263
Таблица 19
а і аг аз а4 а»
Ег Е2 Е3 0,07098 0,813874 0,07731718 2,468033 2,215314 2,227761 4,468982 4,760572 4,745097 4,405318 —5,884246 —5,440188 4,405318 —5,884246 —5,440188
наты точек Ej удовлетворяют системе уравнений (5.1)). Имеем
б К* =, т2 (МР? + афРМх + *№ + а?Р\ + asbQ\). (5.7)
Числовые значения величин at приведены в табл. 19. Как и в работе Кэмила [144], ограничимся анализом устойчивости в линейном приближении. При одновременном выполнении двух неравенств
4ага3 > <%, а4а5 > 0 (5.8)
имеет место устойчивость в линейном приближении. Если же хотя бы одно из неравенств (5.8) выполнено с обратным знаком, то периодическое движение неустойчиво. Проверка выполнимости неравенств (5.8) показывает, что периодическое движение Ех неустойчиво, а периодические движения Ег и Ез устойчивы в линейном приближении.
Устойчивые орбиты Еъ и Е3 схематически изображены в плоскости L4zi/на рис. 41. Орбита Ег имеет форму, очень близкую к форме эллипса.
Большая полуось этого эллипса приблизительно перпендикулярна прямой, проходящей через L4 и центр масс Земли. Большая и малая полуоси эллипса незначительно (не более чем на 3%) отличаются от полуосей орбиты, полученной Коленкевичем и Карпентером, при помощи точных численных расчетов и равных соответственно 145 ООО км и 71 ООО км.
Движение КА. по орбите Ег синхронизировано с движением Солнца таким образом, что их угловые положения почти совпадают, когда КА. пересекает одну из осей эллипса.
либрации в системе Земля — Луна с учетом солнечных возмущений.
264
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 13
Орбита Ез очень похожа на орбиту Е2, ее размеры несколько меньше размеров орбиты Ег. Космический аппарат, движущийся по орбите Ез, начинает свое движение с противоположной стороны эллипса по сравнению с космическим аппаратом, движущимся по орбите Е2. Таким образом, хотя орбита Е3 и сдвинута по фазе на 180° относительно орбиты Е2, движение по ней также синхронизировано с движением Солнца.
Полученные периодические орбиты Е2 ж Е3 — это единственные известные устойчивые периодические орбиты в рассматриваемой задаче о движении КА вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна при наличии возмущающего гравитационного воздействия Солнца. Отметим, что учет исключенных из гамильтониана К короткопериодических членов и членов, содержащих долгопериодические функции С частотой (Й! — (0е (см. § 4), приведет к тому, что орбиты Ег и Ез станут условно-периодическими, но размеры этих орбит изменятся незначительно по сравнению с размерами периодических орбит Е2 и Е3 [144]. Отметим еще, что в работе [144] сделана попытка найти периодические орбиты, отличающиеся от Еъ Е2 и Е3. Но приближенность анализа, проведенного в [144], не позволила сделать достаточно строгих выводов об их существовании и устойчивости.
ГЛАВА 14
ПАССИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОКРЕСТНОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ—ЛУНА
§ 1. Введение
В последние годы появилось много работ (см., например, [38 — 41, 107, 125 — 133, 135, 141, 168, 174]), в которых исследуются различные вопросы, посвященные проектам использования точек либрации ограниченной задачи трех тел в космических исследованиях. Особенно много внимания уделяется проектам использования прямолинейной точки либрации Ь2 системы Земля — Луна.
Точка Ь2, которая является неустойчивой точкой равновесия (во вращающейся системе координат; см. гл. 1) ограниченной эллиптической задачи трех тел, расположена на луче Земля —
Луна за Луной на расстоянии примерно 65 ООО км. Космический аппарат, движущийся вблизи L2, предполагается, например, использовать как ретранслятор для связи наземного пункта с КА, находящимся на обратной стороне Луны или на орбите искусственного спутника Луны, когда последний находится за Луной и непосредственная прямая радиосвязь с ним невозможна.
На рис. 42 изображена схема использования КА, движущегося вблизи L2, для связи между Землей и обратной стороной Луны. На этом рисунке система координат L2xyz выбрана так, что ось Ь^х направлена вдоль луча Земля — Луна, Ь^у лежит в плоскости орбиты Луны, a L2z перпендикулярна плоскости орбиты Луны. Если КА расположен вблизи плоскости L2yz, а расстояние от КА до Ь2 превосходит примерно 3100 км (см. об этом ниже), то он может быть использован для создания непрерывной радиосвязи между обратной стороной Луны и любой точкой поверхности Земли. Возможны и многие другие способы использования движущегося вблизи КА для окололунных космических операций.
