Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
К = К2 + К3 + К, + ..
• 1
(9.1)
где К2 имеет вид (8.19), а
(9.2)
(9.3)
К 1,2 — ^1,2, -ЙГ2,2 — ^2,2 4“ ^1,2^1,27 ^0,4 — ^0,4 + *^1,2^1,2-
+ rijQj = iVQ;, I nt I -f I rij I = 3,4
(9.4)
(i, j, I = 1, 2, 3; іф I, j ф I),
6*
228
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
точки оси Оц. Величина ц, является корнем уравнения
тіі%і -f- Tij%j = NX і-
Эту же величину можно найти из табл. 10—14.
Уравнение резонансной кривой (9.4) будем искать в виде (8.22). Тогда, подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23), а затем получившиеся выражения подставляя в уравнение (9.4) и приравнивая члены одинакового порядка по е, найдем коэффициенты разложения (д. в ряд по малому параметру е.
Величина |д,<°> уже найдена; вычисления показывают, что величина |Д(1) равна нулю, а взличина |д(а> определяется соотношением
и$*>+»,.пр>-лго|*> (9>5)
=
ЭХ. dhj дкг
П. -д------- + П,- -д--------- — N --------------
« 3(1 т ) 9(1 дц
Члены более высокого порядка по є в (8.22) лишь незначительно деформируют квадратичную параболу ц. = (л<°> + |д(а> є 2 и в дальнейшем не рассматриваются.
§ 10. Нелинейная нормализация. Условия устойчивости
Рассмотрим сначала такие значения параметров [А, е, которые принадлежат резонансным кривым третьего или четвертого порядка. Прежде всего отметим, что, согласно [157], в случае выполнения резонансного соотношения (11.4) при ni-nj<C. 0 будет иметь место формальная устойчивость рассматриваемого периодического движения.
Если параметры fi, є принадлежат резонансной кривой, то форму третьего порядка в функции Гамильтона (9.1) можно привести к виду
К3 — А V sin (/ггфг + rijqij — Nw) + О (вІіуІ+1), (10.1)
А = авМ + О (BW+1),
где а — постоянная величина. Процесс нормализации формы (9.2) полностью аналогичен нормализации квадратичной части функции Гамильтона, которая подробно описана в § 8. Если в (10.1) а Ф- 0, то (см. § 6 гл. 6) будет иметь место неустойчивость рассматриваемого периодического движения. В случае а = 0 вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка в разложении функции Гамильтона (9.1).
і Пусть теперь параметры задачи таковы, что резонансы третьего порядка отсутствуют. В этом случае форму третьего порядка в разложении функции Гамильтона можно уничтожить полностью. При этом в форме четвертого порядка (9.3) меняются только члены Ко,4 (и члены более высокого порядка, обозначенные в (9.3)
s ioj
НЕЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
229
точками) и они теперь принимают вид (см. (5.8))
Ка,і Ч—2~ ^о,эКо,э-
(10.2)
В (10.2) и в других формулах действие операторов Dm, 3 (тп = = 0,1,. . .) аналогично действию операторов Dm,z (тп = 1, 2,. . .)
Нормализация формы (9.3) (с учетом модифицированных членов К0,4 из (10.2)) разбивается на три независимые друг от друга части.
1) Нормализация членов, пропорциональных гг2. Эти члены уже нормализованы.
2) Нормализация членов, пропорциональных rh Можно по-
казать, что нормализация этих членов сводится к усреднению величины Кit2 + К2,2 + • • • п° быстрым фазам движения, определяемого гамильтонианом (8.19), а нормальная форма этих членов будет такой *): |
| 3) Нормализация членов, не зависящих от гг. Последний этап аналогичен процедуре линейной нормализации, и в результате нелинейной нормализации функцию Гамильтона возмущенного движения можно привести к виду
где коэффициенты формы (10.5) являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований и имеют разложение по е, аналогичное разложению величин (k = I, і, /). В (10.3) функция К имеет порядок относительно гк (к = = І, і, j), более высокий, чем функции (10.4) — (10.6), и является 2я-периодической функцией переменных фг, фj, w. Нормальная форма (10.3) выписана для случая резонанса четвертого порядка
(9.4), а в нерезонансном случае в (10.3) будут отсутствовать члены
*) Отметим, что нормализации членов Ку 2 + К2 2 + ... могли бы помешать резонансы re;Q; + njSij = N Qt, где | щ \ + | nj | = 2. Однако эти резонансы осуществляются только на границах областей параметрического резонанса и уже учтены при линейной нормализации.
в (9.2), (9.3).
Гі(сцГі + с, у)).
Я = В\ г* гг] sin(«іфі + nj(fj — Nw), (10.6)
В = Pel^l Ч- 0(e|JV|+1),
(10.6).
230
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
Рассмотрим случай резонанса четвертого порядка, т. е. будем предполагать, что выполнено соотношение (9.4) при
ni 1 +
= 4 и В Ф 0. Если
В V\ щ ||Пі‘ | щ ||П;1 > | Ж (— N, щ, ті,)
(10.7)
то (см. § 6 гл. 6) рассматриваемое периодическое движение будет неустойчиво. При обратном знаке в неравенстве (10.7) в случае плоской задачи (т. е. при п} = 0) имеет место устойчивость по Ляпунову, а в случае пространственной задачи — устойчивость в четвертом приближении.
Пусть теперь параметры (і,, е таковы, что они принадлежат области устойчивости линейной задачи, а резонансов третьего и четвертого порядков нет, т. е. в разложении (10.3) члены (10.6) отсутствуют.
Рассмотрим плоскую задачу (в (10.3) — (10.5) надо положить
г j = 0). Пусть
| Ж (Q,, — Q;, 0) Ф 0.^
(10.8)
Тогда, согласно теореме Арнольда — Мозера об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы (см. главу 4), исследуемое периодическое движение (5.15) будет устойчиво. Если JT (Q;, — Q;, 0) = 0, то вопрос об устойчивости членами этого порядка не решается.
