Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 73

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 106 >> Следующая

В рассматриваемой здесь задаче для решения вопроса о принципиальной возможности резонанса (7.2) разрешим уравнение
(7.2) относительно М и получим
Л/Т — (к\ — к\) {к\ + к\ — 2к\) + Акхкф3У к\ + к\ — А:2
--------------------------(Ч + 4р-------------------------• (7-5)'
218
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
а в плоской задаче (к3 = 0)
kl — Щ
М = <76)
Тогда из всех резонансов (7.2) принципиально возможными будут только такие, для которых хотя бы одна из величин (7.5) (или величина (7.6) для плоской задачи), подсчитанная по данным ки кг, к3, будет заключена в интервале 0 < М < 1.
Далее, функция Гамильтона является четной относительно пространственных переменных q3, р3. Это означает, что из всех принципиально возможных резонансов имеет смысл рассматривать только такие, для которых величина к3 четна.
Все резонансы, проявляющиеся в исследуемых задачах 1а), 16), 2а), 26) и 3), приведены в табл. 10—14. При рассмотрении периодических движений I (или II) типа в пространственной задаче
Таблица 10
2 я
т ss—, плоская задача
COi
п Резонанс м Форма Н* г т Порядок є Примечание
Ш2 =0 1 а* II О
1 02 = 01! 0 Ht (і = |і*
2 2со.2 = шх 3/5 н* 1
Зсо2 = оэг 4/5 в* 1
3 Зша = 2ю1 5/13 н* 2
Н 3 II ? 15/17 н* 1
4 4со2 = За*! 7/25 н* 3
надо учитывать как резонансы из табл. 11 (или 13), так и резонансы из табл. 10 (или 12). В первом столбце этих пяти таблиц выписан порядок резонанса, во втором — явное выражение резонансного соотношения через частоты (01т ©2) ©з = 1, в третьем — значение параметра М, соответствующее этому резонансу и вычисленное по формуле (7.5) или (7.6), в четвертом столбце указана та форма Нт, в которой первый раз проявляется этот резонанс *), а в пя-
*) Резонанс (7.1) проявляется первый раз при учете такой формы из
(4.2), для которой т = | N | 4-1 /ц | + | щ \ .
РЕЗОНАНСЫ
21ft
Таблица 11
т ж___, пространственная задача
“і
п Резонанс м Форма Н* * т Порядок є Примечание
3 2 —J— (0-2 = 3<% 6 у<Г— 4 я? 3
25 лл 6
4 2 (1 — со2) -= ©і 2 (1 + Шг) = 3cl>j. 2 (1 + ш2) = t 4 = Бші 7/25 119/169 7/25 7/25 н*ь н* К Н* 1 3 4 5
Таблица 12:

т ж —, плоская задача со2
гг Резонанс М Форма Н* е т Порядок ? Примечание
і 1 2 н* 1 і/1 . J™2 V 27 (№ + 1)2
№+ 1 л N+1 2
N =1,2,3, ...
8 N = 2к + 3
2 2сог = iVa>2 1 iV2 + 4 ТТ* ' N к = 0,1, 2, . . .
18 тт* N+3 N = Зк + 4, 7V = 3/с + О
3 Зсох = N со2 1 N /с = 0,1,2, . . .
4 = ІУсо2 1 32 н* N N = 4/с + 5, TV = ік + 7
Л' 2 - 16 N+4 к = 0,1, 2, . . .
том — порядок по є, в котором обнаруживается эффект данного, резонанса *) (см. §§ 8—10).
Для исследования устойчивости в строгом нелинейном смысле при нерезонансных значениях параметров (как это будет видно.
*) Резонансный эффект, соответствующий соотношению (7.1), обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона (6.4) членов, порядок которых не ниже
220 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
Таблица 13

т я; —, пространственная задача Щ
. s CO
о
п Резонанс M rt 5 6 О © ? & О к Примечание
2 2 = Nw,_ 1- 8 TV2 n N+2 TV TV = 3, 4, 5
з 2 — ц>1 = TV со2 1 2 (57V2— 3) + 87V ]/ TV2 — 3 ГГ* л ZV+3 TV TV = 2, 3, 4
(7V2+ 1)2
2 -т- (0^ ~ 7V(0-2 1 — 2 (57V2— 3) — 87V У № — 3 TV TV =3,4,5
(TV2 -f- 1)2 N+S
4 2(1 + (Оі) = TV<o2 „ 32A^2 (TV2 -L 4)2 TT ^ TV TV = 5, 6, 7
4 = TV(o2 ! 32 TV2 H* a iV+4 tv Лт = 2/t + 1 ft = 3, 4, 5, . . .
Таблица 14
т ss 2л, задача только пространственная
n Резонанс M Форма H m Порядок e Примечание
1 coa = 0 1 h* [X = 0
2 О І II Cl 3 3 0 H* 0 Ц =(A*
— 2co.2 = 0 3/5 H* 0
3 coj —|— 2(02 — 2 7/25 H* 2
3co2 = 2 1/9 Ht 2
О II 3 CO 3 4/5 H* 0
Зсоі — u>2 =2 (6yT— 4)/25 H* 2
4
(ox "j- 3co2 2 (6 /6 + 4)/25 H* 2
4co2 = 2 1 /2 tf* 2
ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
221
в § 10) достаточно учитывать в разложении функции Гамильтона
(4.2) члены до четвертого порядка включительно.
Из табл. 10, 11 и 14 видно, что для полного решения задачи (т. е. и при резонансных значениях параметров) об устойчивости периодических движений I и III типов достаточно учесть конечное число членов разложения гамильтониана (члены Н* в задаче 1а), члены#* в задаче 16) и члены Я* в задаче 3)). Как видно из табл. 12, 13, в задачах 2а), 26) число резонансов счетно (точкой накопления резонансов на оси 0|л является точка їх = 0). Это означает, что никакого конечного числа членов разложения функции Гамильтона недостаточно для окончательного решения задачи об устойчивости периодических движений II типа. Однако даже на основании анализа конечного числа членов разложения гамильтониана можно сделать достаточно полные выводы об устойчивости и неустойчивости в резонансных случаях (см. § 11). Мы ограничимся рассмотрением в функции Гамильтона (4.2) членов до Н* включительно.
§ 8. Линейная нормализация. Параметрический резонанс
В этом параграфе исследуется устойчивость линейной системы с функцией Гамильтона (6.5).
Прежде всего заметим, что в линейной системе возможен параметрический резонанс
n{ki + TijXj = NXi (і, і, І = 1,2, 3; і ф I, j ф І), (8.1)
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed