Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 72

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 106 >> Следующая

Так как совокупность переменных qt, pt (і = 1, 2, 3; і ф І) входит в функцию Гамильтона (5.11) в степени не ниже второй, дифференциальные уравнения движения допускают частные решения, соответствующие периодическим движениям, для которых gt = Рі = 0, а изменение переменных gt, рг описывается
ГАМИЛЬТОНИАН ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
215
следующими дифференциальными уравнениями:
~ir = Tjr = XlPl + Pi гпі}-тсгт, I (qi + p?)m_1,
m=2 e (5.12)
= - 4f = - - ?« ?, , (j? +
! m=2
В переменных «действие» / — «угол» w, связанных с Qi, Pi формулами
qі = ]/2/ sin u;, рг = ]/2/ cos w, (5.13)
уравнения (5.12) принимают вид
"- = 0, ^- = 1, + ?тсг„,«Г->. (5.14>
m=2
Решение уравнений (5.14) записывается так:
/ = /0 = const, u; = Q (/<>)(? — ?о) + г^о, (5.15)
где частота и период периодического движения (5.15) вычисляются
по формулам (за единицу времени принята величина периода обращения тел конечных масс по их круговым орбитам)
ОО
Q (/о) = + 2 ^сгт, ;С-1> т = 2я/| Q |. (5.16)
т=2
Из (5.16), в частности, видно, что при /<>->- 0 период движения стремится к величинам 2^/(0!, 2л/сог или 2л соответственно для периодических движений I, II или III типа.
§ 6. Гамильтониан возмущенного движения
Будем исследовать устойчивость периодического движения (5.15) по отношению к возмущениям частоты периодического движения (или, что то же самое, по отношению к возмущениям переменной «действие» /0 невозмущенного периодического движения) и по отношению к возмущениям qt, pi (і = 1, 2, 3; г I).
Пусть є = У210 — малая, но конечная, величина (рассматриваются малые периодические движения). Пусть / — переменная «действие» возмущенного периодического движения, связана с /0 соотношением
/ = -|~е2+Г„ (6.1)
где Гі — возмущение переменной «действие». Знак величины Г[
216
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
произволен. При этом qt, Рі (і = 1, 2, 3; і Ф І) — величины первого, а Г; — второго порядка малости, и по самому своему смыслу все эти величины, в отличие от є, являются бесконечно малыми величинами.
Декартовы координаты qb р, возмущенного периодического движения через Г; и є записываются в виде
ЄН—г---------^ + 0(rf)
qt = У 21 sin w —
pt = У 21 cos
w
4_
2e3
2
l_
2є3
e+^f-A+o(r?)
sin w,
COS w.
(6.2)
Частота (5.16) исследуемого периодического движения, записанная через є, принимает вид
ОО
= h + 2 тп?-тсгт% іє*т~« = %г + сгв2 + О (є4). (6.3)
m—2
Подставляя в гамильтониан (5.11) вместо qb pt величины (6.2)
и собирая члены одинакового порядка по qt, р; (і Ф Ї) и У\ Гі |,
получаем функцию Гамильтона возмущенного движения в виде К = К2 + К3 -(- Кц + . . ., (6-4)
где
3 оо
Кг = ?ї;гг Ч—2~ Р*) “I- Яг,г’ 2’ (6-5)
1=1 771=1
ОО
К% = //0,з + 2 Нт з, (6-6)
m=i
#4 = г? [сг + 2 т (т — 1) 21_mc2m> гє2(т-2) 1 +
771=3
ОО ОО
+ “Р" Ят, 2 + #0,4 + Ят> 4- (6.7)
т=1 т=1
В (6.5)—(6.7) значок «Д» означает, что вместо qt и рг в соответствующие формы надо подставить выражения є sin w и є cos w, a
ffn
д d , „ qiWl+ Pldp) ' 2'
(6.8)
Функция Гамильтона (6.4) имеет период 2я по переменной w. В (6.4) точками обозначены члены, порядок малости которых относительно величин qt, Рі (і Ф I) и У \ г і | не ниже пятого.
Итак, первые два этапа схемы исследования орбитальной устойчивости локальным методом (см. § 3) пройдены.
РЕЗОНАНСЫ
217
§ 7. Резонансы
При исследовании устойчивости особыми являются такие значения параметра [і, при которых возможны резонансы первого (ляпуновское условие существования периодического движения), второго (порождающие точки для параметрического резонанса), третьего и четвертого (порождающие точки для резонансов, проявляющихся в нелинейной задаче) порядков. В общем виде такие резонансы можно записать следующим образом:
riiki -(- rijXj = N%i (і, j, I = 1, 2, 3; іф I, j Ф I), (7.1)
где n = \nt\-\-\rij\ — порядок резонанса, N — любое целое
число (N Ф 0 при п — 1, 2), а I — номер периодического движения (соответственно I, II или III типа). Резонансное соотношение
(7.1) перепишем в виде
&і<Иі -(- к%іо2 + &з = 0, (7.2)
где кг, к2, к3 — целые числа, с точностью до знака равные числам nt, rij, N из (7.1), а (Оц со2 находятся из уравнения (4.3) главы 7:
О)! =
! /1 + М if 1-М /7 оч
со2=у—2-. (7.3),
Здесь введено обозначение М = У1 — 27ц (1 — (і). В интересующей нас области 0 < [А < [х* выполняются неравенства 0 < СМС 1, а
И = Г3(4‘^ + 23). (7.4).
При решении вопроса о том, какие из резонансов (7.2) надо учитывать для полного исследования устойчивости движений в многомерных гамильтоновых системах, полезно руководствоваться следующими двумя соображениями:
1) в конкретной задаче частоты линейной системы зависят от параметров известным образом и, следовательно, в рассматриваемой области параметров на них наложены какие-то ограничения; поэтому из всех резонансов (7.2) надо отобрать только принципиально возможные;
2) структура функции Гамильтона в конкретной задаче часто такова, что некоторые из принципиально возможных резонансов, не проявляются в процессе нормализации функции Гамильтона и„ следовательно, рассматривать их не имеет смысла.
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed