Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Для пространственной задачи, описываемой многомерной гамильтоновой системой, такого завершенного результата получить не удается. Пусть определители
?)„ = det
d'JT
, Z)4 = det дгтдгп dr 771
дгдг 771 71 dSS 0
(10.9)
(т, п = І, і, ])
при г j = г і = Г] = 0 одновременно в нуль не обращаются. Тогда, согласно [4, 102] (см. также § 1 главы 5), имеет место устойчивость исследуемого периодического движения для большинства начальных условий.
В рассматриваемой задаче, помимо устойчивости для большинства начальных условий, решался еще вопрос о формальной устойчивости периодических движений.
Достаточное условие формальной устойчивости, применявшееся в работе [58] (см. также главу 8), в рассматриваемой задаче сводится к вопросу о совместности системы уравнений
2 = 0, jr = 0 (10.10)
относительно ги Гі, Г} в области гг ]> 0, rj ]> 0. Нетрудно показать
§ ill
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
231
(исключив г і из (10.10)), что в свою очередь вопрос о совместности этой системы уравнений сводится к вопросу о знакоопределенности при гг > 0, Tj > 0 формы
F = аггг2 + CLijTiTj + аугД (10.11)
где
at = c,Qi2 - с,А?2г + сгйг2,
ац = 2c,Q;Q;- — cnQjQi — сц ?2г?2г + cijQ2, (10.12)
Uj 11 c,Q/ — cijQj?2i cjQ2-
Пусть
D = at2 — Adid). (10.13)
Если D < 0 или если D 0, но все коэффициенты (10.12) имеют одинаковые знаки, то форма F будет знакоопределенной при ї ї >0, г} > 0.
Для того чтобы в нерезонансном случае при достаточно малых значениях параметра є сделать заключение об устойчивости в плоской задаче или заключения об устойчивости для большинства начальных условий и о формальной устойчивости в пространственной задаче, достаточно вычислить коэффициенты форм (10.4) и {10.5) при значении параметра е, равном нулю.
§ 11. Результаты расчетов
В этом параграфе изложены результаты, полученные при исследовании устойчивости малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Исследование проводилось методом, который был изложен в предыдущих параграфах. При этом использовался комплекс программ нормализации гамильтоновых систем, разработанный на языке ФОРТРАН в работе [70].
Сначала опишем результаты, которые можно получить при анализе членов до Н* включительно в разложении функции Гамильтона (4.2).
Коэффициенты разложений границ областей параметрического резонанса в ряды по е, подсчитанные по формулам (8.24) — (8.28), приведены в табл. 15.
Таблица 15
1 Резонанс ^(0) liU> ц(2) ц(3)
1 2Х-2 “ — А-i 0,0242938... ±0,0640727... — —
о 2Х,1 = —ЗХ,2 0,0026368... 0 —0,0035782... ±2,873414...
2X3 = — ЗХ-2 0,0380258... 0 —0,8055612... ±0,067851...
232
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
Таблица 16
I Резонанс ц(0) ц(а) A
1 3Q2 = — Qj 3Q2 = — 2йг 0,01351602... 0,00263680... —0,07244043... —0,00485767... є-3,168362... є2-1223,472...
2 — Qi 2Q3 = — 2Q2 0,03538546... —1,233667... форм. уст.
3 Qj—2Q2 = 2Q3 Qi 4" 2Q2 = 0 36^ = — 2Qg 0,03538546... 0,0242939... 0,03802575... 0,02502685... 0,01813931... 0,02S58462... форм. уст. 1,35542... є2-6,059222...
Таблица 17
I Резонанс ц(0) ,i<2> в •n-N.n^rv,)
1 4Q2= — Qi 2 (Q2+ ?2g) — 0,00827037... 0,03538546... —0,0262244J... 1,313894... O(e) O(e) 237,9977... 72,31265...
3 Qi 3Q3 — 0 0,01351602... 0,00961191... 4,48074... 4,170536...
Используя формулы § 9, можно найти коэффициенты разложений резонансных кривых третьего и четвертого порядков в ряды по малому параметру є. Результаты представлены в табл. 16 (резонансы 3-го порядка) и 17 (резонансы 4-го порядка).
В пятом столбце табл. 16 даны значения главного члена резонансного коэффициента А для рассматриваемых резонансов третьего порядка. Ни один из них не равен нулю, и, следовательно, при достаточно малых значениях параметра є соответствующие периодические движения будут неустойчивы.
В пятом и шестом столбцах табл. 17 даны значения главного члена коэффициента В и значения величин JT (— N, щ, rij) для рассматриваемых резонансов четвертого порядка. Видно, что неустойчивыми при резонансных значениях параметров будут только периодические движения III типа (резонанс Qx + 3Q2 = = 0).
Несложные выкладки показывают, что коэффициенты сг, сн, сц нормальной формы (10.5) можно не находить в результате
§ ilj
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
233
описанного выше алгоритма нормализации, так как при є = О они совпадают с соответствующими коэффициентами нормализованного около положения равновесия гамильтониана (4.2). Нормализованная форма четвертого порядка разложения гамильтониана в окрестности треугольной точки либрации при нерезонансных значениях параметра |х имеет вид
Н4 = С200гI2 + Сц0Г + С101Г1Г3 + С020^22 + С011Г2гзТ С002Г3^ ¦ (И-1)
Явные [выражения коэффициентов нормальной формы (11.1)через частоты со15 со2 приведены в главах 7 и 8. При I = 1 сг = с200, с її ?цо? Cij ^іоії ^ при I 2 Ci Cq2 о, с її - с^о, Cij coii-Кроме того, оказалось, что для периодических движений III типа (Z = 3) коэффициенты нормальной формы (10.5) в точности равны коэффициентам нормальной формы (11.1), т. е. сг = с00г> сп —
^ioi! с і j ^oiii Сі = с2оо, C(j Сцо> Cj Cq2 о* Таким образом, в нерезонансном случае надо было вычислять только коэффициенты Ci, ctj, cj (а для плоской задачи только коэффициент сг) для I = 1 и I = 2.
