Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 74

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 106 >> Следующая

где І Пі І + I rij І = 2, а N — произвольное ненулевое целое число. Из табл. 10—14 видно, что в нашей задаче параметрический резонанс комбинационного типа (т. е. когда nt ¦ tij ф 0) не встречается. Поэтому соотношение (8.1) можно переписать так:
2%i = NXi (і, I = 1, 2, 3; іф I). (8.2)
Теперь опишем процедуру нормализации квадратичной части К2 функции Гамильтона (6.4).
Функцию Гамильтона (6.5) линеаризованной системы представим в виде
ОО
К2 = Q;r; 4- 2 Fm, 2е”1, (8.3)
т= о
а частоту периодического движения (6.3) для дальнейших вычислений удобнее переписать следующим образом:
?ї, = 2 QSn)s”, Ql°> = \t, = 0, Q;2n) = (п + 1) 2-”С2п+2, г.
п=0
(8.4)
222
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
В (8.3) функция F0,2 не зависит от и? и имеет вид
Рол = ~2~ К (я\ + Рі) + ~2~ ^ (ЯІ + Рj) (*,/' = 1, 2, 3; іфі, ]ф1),
а функции Fm>2 (т 1) имеют нулевой порядок относительно є,
являются 2я-периодическими функциями w и записываются через конечные ряды синусов и косинусов целых кратностей величины W, причем максимальная кратность не превышает т. Эти функции
выражаются через функции НтЛ с помощью соотношений
Fm,2 = нт,2 e-m (то = 1, 2,. . .). (8.5)
Для приведения функции (8.3) к нормальной форме необходимо сначала провести ее нормализацию по переменным qt, Ріі Яїі Pj- Для этого перейдем к новой независимой переменной w. Эта операция сводится к делению функции (8.3) на Q;. Функция Гамильтона, описывающая изменение переменных q(, pt, qj, Pj, будет вычисляться по формуле
G2 = jjj Ст, 2em, (8.6)
m=о
I
где G0,2 = -г- F0,2, а функции Gm 2 (m > 1) обладают всеми пере-
Г*1 *
численными выше свойствами функций Fm<2 и вычисляются по ним при помощи рекуррентных соотношений
m
Gm, 2 = 4- Fm, * - 4- Gm_„f 2ain). (8.7)
1 1 n=l
Функция Гамильтона (8.6) соответствует неавтономной канонической системе с двумя степенями свободы.
Нормализацию функции Гамильтона (8.6) можно провести обычным способом, например, используя алгоритм, аналогичный алгоритму Биркгофа, или используя алгоритм Депри — Хори. При этом на каждом шаге нормализации формы Gm,2 приходится решать системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Однако в нашем случае функция Гамильтона содержит «время» w только через комбинации є sin w и є cos w. Это позволяет нормализацию неавтономной канонической системы с функцией Гамильтона (8.6) свести к нормализации автономной системы (но уже с тремя степенями свободы).
Для этого прежде всего заметим, что для нормализуемой неавтономной функции Гамильтона (8.6) операторное уравнение
(5.4) в обозначениях этого параграфа принимает вид
До Тт,2 = @т,2 — Gm,2i (8-8)
ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
223
где
До = Do —’ Df)Tm.,2 = —(Go,2'Tm,i)- (8-9)
В (8.8) ТтЛ и Gm,2 — члены степени т относительно є в разло-
жениях производящей функции Т2 искомого преобразования и новой функции Гамильтона Gl в ряды по малому параметру е. Функции ОтЛ определяются по формулам, аналогичным (5.7).
Однако процедуру решения уравнений (8.8) можно представить в несколько ином виде. Введем фиктивные переменные qw, pw по формулам
qw = є sin w, pw = в cos w. (8.10)
После такой подстановки «время» w в функцию Гамильтона (8.6) явно входить не будет. Это следует из того, что в функцию (6.5) величины є и w входят только в виде комбинаций (8.10), а в частоте (8.4) параметр е2 можно заменить на выражение q2w -f- pi,. Получившаяся функция Гамильтона будет иметь вид
L = Ь2 + . . . + Lm + . . ., (8.11)
Lm = Gm-2,2em-2 S Kl...VL,qwq7qY^w^i1^\\ (8.12)
v1+...+Ha=m
где значок «V» означает, что в соответствующих функциях величины е, w исключены при помощи подстановки (8.10). В (8.12) тп > 3, а функция Ь2 определена ниже. Отметим, что действия оператора «Д» из § 6 и оператора «V» взаимно противоположны и, таким образом, по функциям Нт> 2 из (5.11) можно сразу же получить функции Fm> 2em, по которым с помощью (8.7) определяются функции Gm> 2• Для этого надо только в функциях Нт< 2 сделать формальную замену qt —qw, pt —pw.
Производящую функцию искомого, линейного относительно qt, Pii Qji Ph нормализующего преобразования S и новую функцию Гамильтона L* будем искать в виде (8.11). Используя правило дифференцирования сложных функций, оператор Д0 перепишем в виде
д д
До — Do
Pw 4w дРи
(8.13)
Из (8.13) видно, что действие оператора Д0 на произвольную функцию F переменных qt, pt, q}, pj, qw, pw можно представить при помощи скобки Пуассона
&oF = _ (L2-F),
где
^2 - Go,г + у (?“ Pw) — Y (У™ Р*>)
+ р*) УР*)’
224
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
Нужные в дальнейшем формы Lm из (8.11) имеют вид L3 = Н1і2,
?4 = — Н2,2-------jj- (Qw + Pw) ~2~ "Ь Pi) -2~ Y~ ^ P^)
U = 4~ Яз,2 - ^(ql + pi) Н1Л, і Ц
где формы Нт, 2 определены В (5.11) (теперь первый индекс В Нтг2 означает степень этих форм относительно qw, pw).
Операторное уравнение для определения форм Sm-2,2 и Lm из разложений производящей функции S и нормальной формы новой функции Гамильтона L* будет иметь вид
^о^т-г.г = I~m Lm,
где
Д()^т-2,2 ~ (L%* Sт-2,2),
а функции Ьт вычисляются по функциям
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed