Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
п I F02 I O-2R2 = п' \ F2 I a.f2Rf2,
что определяет отношение модулей амплитуд полей. Наконец, амплитуда на сфере сравнения в пространстве изображений будет
F®'> -П-^ijrf2 h(kX)F0W Т). (3.11)
Переменные ?', у' входят как в А, так и в F0. поскольку ? и 7 пропорциональны им (отношение ?'/? = у'/у есть не что иное, как угловое увеличение). Распределение амплитуд на сфере сравнения, таким образом, определено, и поскольку колебания когерентны, они должны вызвать явление дифракции в плоскости изображений. Эту дифракцию можно вычислить, применяя первое соотношение из (2.24):
л (уг, Zf) = ^ Г, l')h{- k'Wу' + fz')]d?'d7'. (3.12)
Если заменить функцию F ее выражением из (3.10) и (3.11), получим кратный интеграл, в котором можно изменить порядок интегрирования относительно двух групп переменных ?', у' и у', z':
aw, ^) = TL-(f)72^oto)x
g h [ft'А - k' (?'у' + т'z') + k ^y0 + TZ0)] dW] dy<?z0.
Ho равенство Лагранжа n$y0 = ti'?'y' можно написать в виде k$y0 = k'fi'y', если учесть зависимость между длинами волн и показателями преломления ril = п'\'. Заметим, кроме того, что интеграл относительно переменных ?' и Y равен (с точностью до постоянного множителя) E (у'— у, г'— г), и, если вернуться к введенным ранее координатам у = gy0 и z =* gz0, сразу получим простое выражение (3.9). В дальнейшем мы будем пользоваться только приведенными координатами, так как они упрощают запись; хотя при этом мы допускаем некоторую
X Гл. 3. Соотношения между объектом и его изображением 69
неопределенность в величине постоянного коэффициента, входящего в выражение электрического поля, но это не имеет практического значения для рассматриваемого вопроса.
§ 5. Фильтрование пространственных частот при когерентном освещении. Опыты Аббе
В этом случае проблема более проста, чем в случае некогерентного освещения. В самом деле, рассмотрим распределение комплексных амплитуд Q (у, z) на 'плоскости объекта; математическое выражение принципа Гюйгенса — Френеля [соотношение (3.10)] показывает, что распределение амплитуд на сфере с центром в О есть преобразование Фурье функции Q(у, z). Эта сфера сравнения S может, в частности, опираться на контур входного зрачка прибора, и для того, чтобы перейти к распределению амплитуд на сфере S' с центром в О', достаточно вычислить изменение оптического пути L імежду этими двумя сферами [соотношение (3.11)], т. е. аберрацию прибора. Наконец, изображение представляется преобразованием Фурье распределения амплитуд на S', и мы увидим, что образование изображения по существу есть следствие двух дифракций: одна соответствует переходу от объекта до входного зрачка, другая — от выходного зрачка до изображения. Поскольку каждой из этих дифракций соответствует свое преобразование Фурье, закон фильтрования представляется весьма простым. Если коэффициент пропускания прибора мало меняется, можно утверждать, что все частоты, распространяющиеся в направлении, проходящем через входной зрачок, пропускаются [иногда с изменением фазы, возникающим в результате действия величины h (M) в соотношении (3.11)]; частоты же более высокие, направляющие дифрагированные волны мимо зрачка, исключаются; это и есть основная идея теории Аббе о разрешающей силе микроскопа.
Предположим, что объект представляет собой периодическую структуру (например, решетку со штрихами). Представление этого объекта интегралом Фурье содержит только основную частоту штрихов (обратную расстоянию между ними) и иногда ее гармоники. Явление дифракции і 28 Часть Ii. Образование изображения протяженных объектов
в зрачке будет обусловлено только этими ,прерывистыми элементами. Периодичность структуры будет ощущаться только тогда, если направление дифракционной волны, соответствующее основной частоте, попадает в зрачок. Для этого достаточно, чтобы угловое отверстие а (фиг. 28), соответствующее краю зрачка, было больше угла дифракции, соответствующей периоду р, т. е.'
(если угол а велик, то нужно вместо него писать sin а). В более общем случае гармоника с частотой п/р будет
пропущена, если а > дХ/р, откуда можно заключить, что только более низкие частоты будут пропущены, вплоть до предельной частоты аД.
Классический эксперимент Аббе, предназначавшийся для проверки предыдущих идей, может быть выполнен по схеме, изображенной на фиг. 29. Источник 5 располагается в фокусе коллиматорной линзы Li, которая направляет параллельный пучок на объект Р, предназначенный для исследования;-линза L2 образует спектр объекта в своей фокальной плоскости F; проекционная линза Lz образует изображение объекта. В плоскости линзы L3 можно наблюдать некоторое распределение амплитуд, являющееся гармоническим анализом объекта. Следовательно, нетрудно часть этого распределения прикрыть и таким образом уничтожить некоторые частоты в изображении. Заметим, например, что в изображении периодической решетки не будет ощущаться никакой периодичности, если перекрыть Гл. 3. Соотношения между объектом и его изображением 71
все дифракционные спектры решетки, — можно выборочно отфильтровать некоторые гармоники и получить изображение, лишенное некоторых составляющих, выбранных произвольно.
