Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марешаль А. -> "Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света" -> 10

Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.

Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света — М.: Мир, 1964. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaopticheskogosveta1964.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 73 >> Следующая


§ 7. Случай функции с ограниченным спектром.

Теорема об интерполяции1'

Докажем, что если функция обладает конечным спектром, то она полностью определяется величинами, которые принимает в ряде вполне определенных точек, например, находящихся друг от друга на равных расстояниях. Эта теорема имеет важное практическое значение в теории информации: Она позволяет также показать, что оптическое изображение зависит только от конечного числа параметров на единице площади.

Рассмотрим функцию /(х), преобразование^ Фурье которой g(u) равно нулю вне интервала —и0/2; + и0/2 (фиг. 18). Можно считать, что g(u) есть произведение двух функций: периодической функции gi (и), которая совпадает с g(u) в интервале —и0/2, + и0/2 и повторяется -в дальнейшем с периодом и0, и ступенчатой функции g2 (и) = Rect (й/ы0).

По теореме Парсеваля, функция /(х) выразится как свертка преобразований Z1 и /2 функций gx и g2:

/W = j7i ijf)h(x — y)dy.

Однако поскольку (и) обладает периодом ий, ее преобразование Фурье состоит из дискретных' сигналов: fi(y) — 0, за исключением значений у = .Vlu0, где п — положительное или отрицательное целое число.

1J Эта теорема известна как теорема Котельникова. — Прим. ред. Гл. 2. Преобразование Фурье

43

f,(X)
I *
"о f2'XI I "о ' Sy і \ I
\ I \l V _ і
"o'l I
/ / /і / / I I I \ I \ I ЛГч
- -

\ і \ '

і A
Tl
"o U0
г
gnu

Фиг. 18.

С другой стороны,

Ш-

Sin пщх пх

Таким образом, выражение свертки будет таково:

+OO

я N sin ли0[х — (п/и0)]

'W- 2 (I)s^

¦(я/и.)] •

Если положить X равным т/иа, где т — целое число, то все слагаемые этой суммы исчезнут, кроме одного, которое соответствует условию п = т\ следовательно



ред.

ИТ 1- Si" я»о[*— («/"»)]

1J Іак как Iim—я[х—(л/и,)]— "рИ x^nIu' Равен и„.—Прим. 44

Часть 1. Основы теории

Отсюда и выводим окончательную формулу

+OO

Таким образом, f (х) выражается однозначно с помощью величин, которые она принимает для х = п/и0.

§ 8. Применение преобразования Фурье для выражения принципа Гюйгенса

Вернемся к равенству (1.5), выражающему принцип Гюйгенса для оптических инструментов со средней светосилой. Оно представляет собой преобразование Фурье, если переменным и функциям придать соответствующие постоянные коэффициенты. Можно, например, согласовать выражения (1.5) и (2.13), написав ?' = и, Y = v, у' = Ix, Zr = Iy, F($',f) = g(u,v), полагая при

. Xh (kR) E (Xx, Xy) ,, , этом, что — і---—-— = / (X, у).

После ряда упрощений можно написать преобразование

Е{у',г') =

= i^ h(- kR) \\ F (?', Т') h [~kГ у'+Г г')] d?' df,

(2.24)

=-j?h (kR) g E (y', z') h [k (?' y' + t' *')] dy' dz'. Можно еще написать соотношение (2.15) в виде .JJI E (х',у')I2 h \k (?0 у' + то г')} dy' dz' =

= И2 JJ F + Po, Y + То) F* г, Г) er df,

Ii?2 JJ F (?', Г) F* ф' - ?0, f - То) d?' df,

или в более симметричной форме:

Я2 \\ F (?' + I0 , T' + 2°) F* (P' - J ' T - j) W dY- Гл. 2. Преобразование Фурье

45

Отметим, что соотношение между амплитудами, распределенными на сфере с центром в начале координат, и распределение амплитуд в плоскости, перпендикулярной оси, связаны преобразованием Фурье: оно переводит на математический язык принцип Гюйгенса. Мы дальше увидим, что можно, наоборот, осуществить преобразование Фурье, используя образование дифракционной картины.

§ 9. Примеры применения преобразований Фурье к расчету явлений дифракции. Изучение возникновения «духов» в спектрах решеток

При изготовлении решеток классическим методом Poy-ленда местоположение штрихов существенно зависит от механической точности машины. Если последняя несовершенна, например обладает эксцентричностью винта, сказывающейся при каждом обороте винта, то при нанесении штрихов возникнет периодическая ошибка.

Ошибки местоположения штрихов представлены схематически на фиг. 19 в предположении, что наносятся толь-

Фиг. 19.

ко четыре штриха за один оборот винта. В действительности шаг резьбы порядка 1 мм, и на решетках, обычно используемых в спектроскопии, может быть нанесено, например, около 500 штрихов на 1 мм (т. е. за один оборот винта). Ошибка эта влияет, очевидно, на форму дифрагированной волны, которую мы будем здесь изучать, используя принцип огибающей . Рассмотрим, например, отра-

1) Применение такой формы принципа Гюйгенса; можно найти в дополнении 2. 46

Часть 1. Основы теории

жательную решетку. Бели решетка совершенна, то середины Oi, O2, O3 и т. д. отражающих штрихов будут равноудалены друг от друга (фиг. 20). Волны, выходящие из этих точек, отличаются по фазе на 2 Kn в направлении 0', соответствующем спектру порядка N.

Предполагая, в частности, падающие лучи нормальными к плоскости решетки, имеем

O2H1 = O3H2= ... = Nl.

Все колебания происходят в одной и той же фазе, и поверхность дифрагированной волны 5 на некотором расстоянии в направлении 0' является плоской. Эта волновая поверхность является не чем иным, как огибающей дифрагированных от различных штрихов решетки волн, причем радиусы этих волн таковы, что оптический путь ATA'
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed