Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Изображение изолированной точки; дифракционное пятно Эри
Для стигматического прибора можно принять A = O, откуда F ф', у') = E0. Можно также без потери общности считать R равным целому числу X длин волн. Считая что h(—kR) = 1, получаем из (1.5)
E (y', г') = ^ Ц Л [- ft (ру + Yz')] dpdf.
/2 /2 /2
? +Y < а
Чтобы найти преобразование Фурье функции-круг, можно использовать равенство (2.19), которое сведется после подстановки x=?' и у = Y к выражению і 28 Часть Ii. Образование изображения протяженных объектов
= (5.1)
где
~ 2яа' -\Г~7Г~, /2* 2я , Z = —j— у у' + г' = у а р,
и окончательно будем иметь
D (y', Z') = (-?^-)' = /С ( ^)2. (5.2)
Это выражение дает распределение освещенности в изображении изолированной светящейся точки, даваемом совершенным прибором. Из него видно, что освещенность в центре дифракционной картины пропорциональна квадрату площади зрачка. Если Z=Or то в действительности D пропорционально а'4. Это не удивительно, так как энергия в дифракционном пятне пропорциональна їілогцади зрачка и концентрируется в пределах пятна, размеры которого уменьшаются при увеличении размеров зрачка.
Отметим также, что освещенность изменяется пропорционально Ir2. Если предположить, что отверстие а' и
Фиг. 38.
полная энергия постоянны, то размеры дифракционного пятна будут меняться с длиной волны, и освещенность должна быть пропорциональна Ir2 для того, чтобы весь поток оставался неизменным.
На фиг. 38 и в табл. 1 показано изменение амплитуды и освещенности, или точнее изменение функции 2J\ (Z)/Z и ее квадрата. Таким образом, дифракционное Гл. 5. Стигматический прибор с круглым зрачком
87
Таблица 1
Значения амплитуд и интенсивностей в дифракционном пятне стигматического прибора с круглым зрачком
2 J1 (Z) ~2 J1 (Z)V 2 J1 (Z) Г2 J1 (Z) 1
Z I Z J Z L Z J
0,0 + 1,0000 1,0000 7,0 — 0,0013 0,0000
1,0 + 0,8801 0,7746 8,0 + 0,0587 0,0034
2,0 + 0,5767 0,3326 9,0 + 0,0545 0,0030
3,0 + 0,2260 0,0511 10,0 + 0,0087 0,0001
4,0 -0,0330 0,0011 11,0 -0,0321 0,0010
5,0 -0,1310 0,0172 12,0 — 0,0372 0,0014
6,0 -0,0922 0,0085
пятно в стигматическом приборе с круглым зрачком состоит из очень яркого центрального пятна, окруженного кольцами, интенсивности которых относительно слабы. Темные кольца соответствуют корням уравнения J\ (Z) =0, т. е.
3,83; 7,02; 10,17; 13,32 и т. д. Максимумы соответствуют следующим значениям Z: 5,14; 8,46; 11,62,
а значения освещенностей пропорциональны (при освещенности в центре, принятой за единицу)
0,0175; 0,0042; 0,0016.
Первый минимум получается для Z = 3,83. Из определения Z вытекает, что радиус первого темного кольца равен
г 3,83Х
у —"2шх7" '
или
У = ??-. (5.3)
Таким образом, мы вновь пришли к хорошо известной классической формуле. Эти результаты можно легко отнести и к пространству объектов. Полагая прибор і 28 Часть Ii. Образование изображения протяженных объектов
апланатическим и принимая во внимание условие синусов Аббе, найдем, что две точки объекта могут быть разделены, если линейное расстояние между ними превосходит величину
= 1,22?, .
У In sin а '
угловой радиус первого темного кольца, видимый из выходного зрачка, равен
1,22?.
R ~ Ih '
где 2h — диаметр зрачка прибора.
Из формулы (5.2), которая определяет Z, следует, что линейные размеры пятна зависят только от отношения Х/2а'; можно, впрочем, заменить 1/2а' числом N, определяющим относительное отверстие в пространстве изображений. В табл. 2 дано несколько числовых значений радиусов первого темного кольца для относительных отверстий от //3 до //20.
Таблица 2
Радиусы первого темного кольца (в мк) для разных отверстий
2 а' = 1/3 1/6 1/10 1/20
X = 0,555 MK 2,0 4,1 6,8 13,6
X = 0,435 JHK 1,6 3,2 5,3 10,6
Можно получить значения функции IJ1(Z)IZ и для больших значений Z. При этом целесообразно использовать следующее асимптотическое выражение:
J1(Z)= sin^0sz (Z» 1). (5.4)
Тогда
Di,/ - ЯЩ&*'4, a (sinZ-cos ZY
и\У > zI- Х2 ^zi •
Нулевые минимумы определяются условием ig Z= 1. Из формулы для D(y',z') g ид но, что если значительно Гл. 5. Стигматический прибор с круглым зрачком
89
отойти от центра дифракционной фигуры, то расстояние между двумя последовательными минимумами будет практически постоянно и равно тс.
§ 2. Распределение светового потока в пятне Эри
Рассмотрим элементарное маленькое кольцо, площадь которого равна рdp = (\2/4А/2)ZdZ-, световой поток, распределенный на этом элементе, будет равен (с точностью до множителя)
I E (Z) j2 ZdZ.
Поток, падающий внутри круга радиусом Z, можно выразить формулой
г
F = 8тт f dZ;
о Z
используя соотношения^
у; (Z) = + J0 (Z)
и
J1(Z) = -J0(Z),
получаем
р = 1 -Ib(Z)-Jl(Z) _
Если Z стремится к бесконечности, то F ->
Принимая весь поток за единицу, напишем выражения, определяющие поток внутри круга радиусом Z:
Fi=I-J20(Z)-J2(Z)
и поток вне этого круга:
Fe = J2(Z) +J2(Z).
В табл. 3 даны значения F1 и Fe для некоторых значений Z.
