Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
vr' ' 2яер
С другой стороны, изображение точки может быть представлено следующим образом:
D (y') = 1 + cos
2л у'
= 1 +
гИ2*4М-214)]. (3.4)
где а — расстояние между полосами. Преобразование Фурье d функции D, таким образом, состоит здесь толь-
Hacmcma
7
Фиг. 25.
ко из трех частот равных — На, 0, + l/a(v = 0), как это схематически показано на фиг. 25.
Преобразование Фурье изображения (которое мы получим, найдя произведение d X °) всюду равно нулю, кроме трех значений (х, которые дают для d конечную величину. Изображение, следовательно, распределено строго по синусоиде, поскольку і ((1., v) равно 1 для (а = О и 2J1(2Ks/a)/(2ize/a) для |х = ± На.
Имеем (фиг. 26)
(3.5)
Первое исчезновение полос имеет место, когда 62 Часть II. Образование изображения протяженных объектов
2тс/а = 3,83, или 2є = 1,22а, т. е. можно найти кажущийся диаметр звезды, наблюдая исчезновение полос.
б) Приложение к определению предела разреше-ниянекоторойпериодическойструктуры оптическим прибором, обладающим значительными аберрациями; учай чистой дефокусировки и астигматизма. Обращение контраста. Когда аберрации прибора становятся значительными по своей величине, дифракция уже не играет никакой роли и можно положить, что распределение D [у', г') освещенности на
изображении в каждой точке определяется геометрической оптикой. Чтобы его определить, нужно узнать освещенность, вносимую каждым пучком лучей, участвующим в образовании изображения- Если dS — элемент «а поверхности зрачка, пересекаемый пучком, мы предположим, что световой поток 'Пропорционален dS, и поэтому освещенность в плоскости изображения будет пропорциональна dS/ds, где ds — элемент поверхности, полученный на пересечении пучка лучей плоскостью изображений. Чтобы применить предыдущую теорему, нужно найти преобразование Фурье от пятна рассеяния, полученного таким образом. Мы дадим здесь один простой пример, оставляя изучение общего случая до гл. 9.
Рассмотрим случай, когда оптический прибор плохо сфокусирован, и предположим, что зрачок его имеет форму круга (фиг. 27). Пятном изображения будет тогда равномерно освещенный маленький круг радиусом Гл. 3. Соотношения между объектом и его изображением 63
е= а'ох'.где ох'—продольная дефокусировка и а' — половина угла конуса лучей, формирующего изображение. Таким образом, D{y',z') = E, если у'* + z'* <. е2. Преобразованием Фурье этого кружка рассеяния будет, согласно соотношению (2.19), функция d(p):
d (р) =¦= кЕг2
2 J1 (2яер) 2яер
где буквой E обозначена освещенность внутри круга.
С другой стороны, если в качестве объекта использовать периодическую миру периода р, можно написать
Фиг. 27.
его разложение в ряд Фурье. Для «миры Фуко», состоящей из одинаковых черных и белых штрихов, можно написать, используя равенство (2.4),
-j-oo
оао = і + п (fH--12 h[{2ntxlI1ty7pj-
•—со
Таким образом, периодическая функция О (у) распадается на ряд дискретных синусоидальных составляющих, частоты которых р. = (2п + 1)!р пропорциональны основной частоте миры I/р. Найдем преобразование Фурье изображения, используя произведение преобразований Фурье; поскольку о (р.) всюду равна нулю, эа исключением значений р. = (2п + 1)/р и v = 0, находим 64 Часть II. Образование изображения протяженных объектов
, __2І_ у 2J i[2(2n + 1 )яв/р] h[2(2n+l)ny'/p] я 2(2л+і-)яе/р 2п+1
1 і1- S
2/^2(2«+ 1)яе/р] sin 2(2п+ 1)Яі/7р
я ~ 2(2rt + l) Я8/р
2п + 1
(3.6)
Амплитуды гармоник вообще довольно быстро уменьшаются в зависимости от их расположения в ряду, и изображение достаточно точно определяется величиной
1 , 4 2Ji (2яв/р) 2яу' я 2яе/р р
(3.7)
Предположим, что р фиксировано и что можно изменять дефокусировку є, начиная es = 0: когда величина є очень мала, то кривая функции фильтрования d(p) очень полога и практически большое число гармоник проходит без искажений — изображение подобно объекту. Если е возрастает, то растянутость функции с?(р.) вдоль оси абсцисс уменьшается и гармоники быстро уменьшаются; тогда можно использовать равенство (3.7), из которого вытекает, что изображение становится синусоидальным, но его амплитуда обращается в нуль и меняет свой знак вместе с функцией J1(2'K&/p): первое обращение в нуль синусоидального члена ряда получим, когда 2тс/р = 3,83, или 2є = 1,22р. При дальнейшем росте є амплитуда синусоидального члена ряда становится отрицательной и появляется обращение контраста: минимумы освещенности на изображении займут место максимумов в распределении яркости на объекте и наоборот.
На фото I (см. вклейку) представлено плохо фокусированное изображение миры, состоящей из штрихов, расположенных радиально. На этом снимке отчетливо видно явление обращения контраста; в этом опыте величина є остается постоянной, но'р изменяется непрерывно.
Очевидно, такой же результат можно получить для оптического прибора, обладающего астигматизмом, если фокусировка осуществляется на фокальные линии, перпендикулярные штрихам миры; для этого достаточно Гл. 3. Соотношения между объектом и его изображением 65
