Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
вопросом, будут ли изотопические смеси разделяться на разные фазы при
низких температурах, интересно найти приращение нулевой энергии,
соответствующее разупорядочи-ванию решетки. Нулевая энергия
разупорядоченной решетки была вычислена непосредственно по формуле
(4.1.15), хотя полученные результаты не могли быть окончательными, так
как при низких температурах су-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 263
щественны и другие, не учтенные в этой формуле эффекты. На фиг. 31
приведены кривые нулевой энергии для упорядоченной и разупорядоченной
решеток и для решетки с разделенными фазами. Из графика видно,
Фиг. 29. Окончательный вид спектра собственных частот одномерной
неупорядоченной решетки, вычисленного по 20 моментам.
Мв/Мд ='/"; р="0,5 (вероятность того, что в данной узле находится атом
А).
Фиг. 30. Спектры собственных частот для нескольких одномерных
неупорядоченных решеток, вычисленные по 20 моментам.
Отношение масс тяжелого н легкого атомов равно 2: J-р=-=0,10; 2-р=0,25;
3-р=>0.50.
что наименьшая нулевая энергия соответствует разделенным фазам и,
следовательно, при низких температурах изотопическая смесь будет
стремиться разделиться на фазы.
Разделение изотопической смеси на отдельные фазы при очень низких
температурах наблюдалось Коганом и др. [242], которые исследовали фазовую
диаграмму водородно-дейтериевых систем. Снятые при 4,2° К рентгенограммы
смесей, концентрация водорода в которых
266
Глава V
была в пределах 20-80%, содержали линии как водородных, так и дейтериевых
решеток. Критическая температура, ниже которой происходит разделение
твердого раствора на две фазы, лежит несколько ниже точки плавления 18°
К. Это значение критической температуры примерно на два порядка больше
величины,
Отношение масс
Фиг. 31. Энергия нулевых колебаний как функция отношения масс легкого и
тяжелого атомов для одномерной двухатомной решетки, упорядоченной (/),
неупорядоченной (2) и с разделенными
фазами (3).
данной Пригожиным и. Джинером [207]. Сами авторы приписывают это
расхождение влиянию энгармонизма.
Рассмотренные нами вычисления спектров частот разупорядоченных решеток
методом моментов проводились только для случая изотопических решеток.
Однако были проведены и такие расчеты, в которых предполагалось, что
силовая постоянная связи двух атомов различна для разных пар атомов. Если
приписать двум типам атомов в бинарном сплаве индексы 1 и 2 так, что
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 267
их массы будут Mi и Мг, то в случае одного измерения надо рассматривать
три разные силовые постоянные, а именно yh> Y22 и y"- В случае двух и
трех измерений число различных силовых постоянных будет, конечно, больше.
Такаги и Огучи [243] рассчитали для таких раз-упорядоченных
двухкомпонентных линейных цепочек моменты вплоть до цв и построили спектр
частот. Им удалось определить, как меняется спектр частот при изменении
ближнего порядка.
В более ранней работе Огучи и Хироике [244] рассматривалась аналогичная
задача для трехмерных бинарных сплавов. Мы проиллюстрируем их метод
расчета на примере задачи для одномерной решетки. Система уравнений
движения имеет вид
В этих уравнениях отношения силовых постоянных к их массам заменим их
средними значениями следующим образом:
где s - параметр дальнего порядка. Используя это приближение, Огучи и
Хироике смогли рассчитать моменты спектра частот и с их помощью нашли
свободную энергию. К этой величине была добавлена конфигурационная
свободная энергия, определенная в приближении Брэгга - Вильямса, и была
вычислена кривая теплоемкости. Таким образом, полученная теплоемкость
состояла
¦*21 + ' (X2l~X2l-l) + Ys^+I (*2l~X2l+l) - О,
(5.7.45)
268
Глава V
не только из обычной, но и из аномальной теплоемкости, обусловленной
процессами разупорядочивания.
Приближение, заключающееся в формулах (5.7.46), является слишком грубым
(оно по существу сводится к замене среднего от функции случайной
переменной значением функции от среднего значения переменной).
Следовательно, результаты Огучи и Хироике не могут быть правильными
количественно, и возможно, что даже качественно они не очень надежны.
Недавно Домб1) рассчитал для разупорядоченной линейной цепочки моменты
(вплоть до ци) как функции параметра ближнего порядка.
Дин [198], основываясь на результатах расчетов одномерных спектров по
методу Монте-Карло, выдвинул определенные возражения против расчетов
спектров методом моментов. Главное предположение при использовании метода
моментов состоит в том, что спектр можно аппроксимировать полиномами, т.
е. что спектр является достаточно гладкой функцией. В рассмотренной нами
модели решетки, в которой масса одной из частиц бесконечно велика, это,
очевидно, не так. Даже в случае конечной массы Дин в своих расчетах
установил, что верхний край спектра представляется ломаной кривой и
поэтому будет очень плохо аппроксимироваться полиномами. Поучительно
