Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
[69]:
00 ОО
G (to2) - J chnarfaj (лгсо2) " '/l с о s [a I п (лгсо2)] С'(x)dx.
-оо О
(5.7.18)
Обозначим функцию распределения недиагональных матричных элементов
матрицы D через fs-r(a) (r<s), а функцию распределения диагональных
матричных элементов через g(a). Поскольку величины в правой части
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 255
формулы (5.7.13) статистически независимы, можно написать
Fmn(г) = f ¦ •. f dyyOnn(y)fmn [zy + j Х1У1^Х
л-i
X И dxk dykFnk (xk) Fmk (yk), (5.7.19) *=i
Gnn(z) = 2 f ...f ^(^ + (02 + 2
\ /=1 / ft=l
Если рассмотреть случай одномерной решетки, в которой взаимодействуют
лишь ближайшие соседи, и обозначить через р вероятность того, что узел
решетки будет занят атомом с массой т, а через 1 -р вероятность того, что
в этом узле будет находиться атом с массой М, то интегральное уравнение
(5.7.19) перейдет в функциональное уравнение
/7(п) = р[ 1-Ч+-Л7] 2/?[(1-т,+^)"1-1] +
+(1 -р) [1 -Л + -^Г[(l - 4 + -j9"'-l]-(5.7.20)
где y - силовая постоянная. Дайсон показал, что в этом случае функция
С(х) определяется формулой
CW-jF <4>ln{(l +i+-?)'(l +
(5.7.21)
Это выражение совместно с (5.7.20) и (5.7.18) можно рассматривать как
формальное решение задачи.
В нашем рассмотрении мы получили решение лишь в самом формальном смысле,
одиако оно помогает выявить присущие задаче трудности и указывает на
желательность применения других, приближенных, способов решения. В
настоящее время не представляется возможным решить уравнения (5.7.20)
хотя бы численно. Как
256
Глава V
мы упоминали, в одном случае Дайсону удалось решить
систему интегральных уравнений (5.7.19). Это решение
справедливо для решеток с непрерывно распределенной
массой, и, следовательно, в этом случае спектр частот
не ограничен сверху. Поэтому решение Дайсона, само
по себе очень интересное, ни в коей мере не помогает
выяснить характер спектра частот бинарных сплавов.
Было сделано еще несколько попыток найти более
или менее точно спектр частот в одномерном случае.
Шмидт [193] и Хори и Асахи [194, 1951 пытались найти
решение с помощью матриц переноса. В своем весьма
подробном исследовании Шмидт получил приближен-
<0*
ное выражение для интеграла J О (и2) da?:
о
j 0(*)<fe=i-gqg-pp <*<?.
o>
(5.7.22) f0(z)dz =
где
о
0 = 1<Ь
e =-----------p
In
(l-r
-2 _ 4 1 _ 0(2 - 8) /<а* -О) V
"0(2-0)' 2(1-0)" [ Й2 /'
(5.7.23)
Заметим, что интеграл J 0{fiP)do? не равен единице
о
ни при каком конечном значении верхнего предела. Это противоречит факту
существования максимальной ча-
СО*
стоты, начиная с которой J O((o2)rf(o2= 1. Этот недоста-
о
ток вывода Шмидта можно приписать сделанным им приближениям. Лаке и
Филлипс [218, 219] произвели некоторые расчеты электронных уровней
энергии одномерного разупорядоченного кристалла и получили резуль-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 257
таты в хорошем согласии с формулой (5.7.23). Методы Дайсона и Шмидта
кратко изложены в обзорной статье [240].
Хори и Асахи [194] и Хори [195] также пытались рассчитать спектр частот
разупорядоченной одномерной решетки, используя матрицы переноса. Их метод
приводит к характеристическому уравнению для частот вида Sp(tf)=2, где Н-
произведение N матриц переноса. Точный расчет средних частот, т. е.
нахождение решений этого уравнения, усредненных по всем конфигурациям,
весьма сложен. В качестве приближения Хори и Асахи рассмотрели уравнение
(5р(Я)>=2 и нашли, что спектр частот совпадает со спектром частот
моноатом-ной решетки, масса частиц которой равна средней массе. Известно,
что это справедливо в области низких частот [72], но плохо выполняется в
области высоких частот.
Лангер [203] с помощью соответствующих диаграмм проанализировал ряд
теории возмущений для спектра частот одномерной изотопически
разупорядоченной решетки. В результате он получил выражение для (#((c))) с
точностью до членов первого порядка относительно концентрации легких
атомов. Спектр частот моноатом-ной цепочки с одним легким примесным
атомом [225] содержит [в дополнение к другим количественным изменениям
зонной части спектра; см. (5.5.20)] 6-функцию в точке, соответствующей
примесной частоте. Лангер показал, что в рассматриваемом приближении
влияние разупорядоченности сводится к уширению дельта-образ-ного пика и
превращению его в примесную полосу; это находится в качественном согласии
с результатами эвристического рассмотрения, проведенного в начале
настоящего параграфа.
Оказалось, что если физические характеристики кристалла, подверженные
влиянию дефектов, представить в виде рядов по степеням концентрации
примесных атомов, то коэффициент при k-й степени концентрации можно
найти, рассмотрев кристалл, содержащий точно k примесных атомов. Это
обстоятельство, впервые отмеченное Лифшицем [192] в связи с расчетами
свободной энергии, находится в качественном согласии с
17 Зак. 1491
258
Глава V
результатами Лангера. Ниже мы кратко покажем, как можно получить этот
