Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
конечные точки) соответствует некоторая частота, определяемая формулой
(5.7.10). Найдем теперь весовой множитель, который следует сопоставить
данному рациональному числу. Пусть s/{n+1)-несократимая дробь. Численное
значение этой дроби может быть реализовано различными способами,
поскольку s/(n+1) -2s/2(n+1) = .... Следовательно, вероятность появления
частоты o)i,sinns/(2я+2) равна
(D/Wl
Ф и г. 28. (а) Спектр собственных частот одномерной решетки со случайным
распределением двух компонент с относительным содержанием 1:1 (масса
одной из компонент предполагается бесконечно большой); (б) - гистограмма
спектра собственных частот втой решетки.
252
Глава V
На фиг. 28 изображен спектр частот, вычисленный с помощью формул (5.7.10)
и (5.7.11) для случая т= 1 и
Р = 72-
Спектр частот одномерной разупорядоченной решетки, содержащей частицы с
бесконечной массой, состоит из линий (б-функций) с разными весовыми
множителями, причем положение линий находится в однозначном соответствии
с множеством рациональных чисел. Кроме того, в спектр входит
расположенная в начале координат б-функция мощности 1 - р, которая
соответствует нулевой частоте, обусловленной бесконечной массой частицы.
Этот спектр существенно отличается от обычного спектра одномерной
решетки, содержащей N атомов. Хотя последний также состоит из N линий,
всю совокупность этих линий можно разбить на группы так, что внутри
каждой группы изменение мощности линий будет меньше любого заданного
числа е. При N-*¦ оо число линий в каждой группе увеличивается и спектр
становится непрерывным. В нашем же конкретном случае при N-+ оо
предельная функция будет существовать только в точках, определяемых
формулой (5.7.10). Таким образом, вблизи любой точки спектра будет
находиться бесконечно много других точек спектра, но из формулы (5.7.11)
следует, что чем ближе друг к другу расположены две точки спектра, тем
больше разница в мощностях соответствующих им линий [поскольку из формулы
(5.7.11) следует, что мощность линии зависит только от п, но не от s].
Если не требовать, чтобы массы частиц были бесконечно велики, и считать,
что эти массы хотя и велики, но конечны, то вырождение в нашем спектре б-
функций будет сниматься, но спектр останется сильно осциллирующим.
Согласно Дину [200], спектр будет осциллирующим, даже если отношение масс
равно только двум.
Впервые задачу о разупорядоченной решетке исследовал Дайсон [69], который
ограничился одномерным случаем и учитывал взаимодействие лишь ближайших
соседей. Его рассмотрение, хотя и весьма изящное, нельзя, пожалуй,
обобщить ни иа случаи большего числа измерений, ни на случаи более
сложных взаимодействий в одномерной задаче. Основной результат работы
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 253
Дайсона (см. также упрощение метода Дайсона в работе Беллмана [239])
состоит в выводе интегрального уравнения для некоторой функции, связанной
со спектром частот через двойной интеграл. Мы изложим вкратце теорию
Инглмана [70], в которой число измерений несущественно и результатом
которой является довольно сложное интегральное уравнение для некоторой
функции, выражающей спектр частот. Остается неясным, поддаются ли
уравнения Дайсона и Инглмана численному анализу.
Обозначим через М(ю2) матрицу D - ю21, где D - динамическая матрица, и
через С (а2) величину а/У-Цп | М (ю2) |. Инглман заметил, что матрицу М
можно представить в виде произведения треугольной матрицы Т порядка в/У
на ее транспонированную Т'
М = ТТ'
х х х х х
х х х х х
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X
X X XXX X X X X X X X X X
X X X X X X X X XXX X X X
.(5.7.12)
Элементы ira (tn=0 при r<s) матрицы Т определяются системой (lh) orf'(<2^
+ 1) уравнений
М.
Г=1
п
(5.7.13)
г= 1
пг^тп
п<т.
Эту систему легко решить последовательно. Например, Мп = t\v отсюда
находим /и, затем tuh\ = M2U отсюда находим tii и так далее. Вообще
рекуррентные соотношения имеют вид
254
Глава V
Очевидно также, что
|М (0)2)1 = J1 (5.7.15)
Г" 1
следовательно,
си=4-Е1п^((°2)- <5-7-16)
Г=1
До сих пор рассматриваемое представление было чисто формальным и в него
не входили никакие случайные элементы. Предположим теперь, что некоторые
элементы матрицы D есть случайные величины. Тогда элементы матрицы Т
также будут случайными величинами. Предположим, что величина Fmn(i)dt
(тФп) представляет собой вероятность того, что элемент tmn будет лежать в
интервале от / до t + dt, и аналогично определим величину Gnn(t)dt.
Инглман предполагает, что при a/fT->оовеличина G""(t) стремится к
предельной функции G(t). С точки зрения физики это довольно
правдоподобно, так как такое утверждение означает, что влияние граничных
условий становится пренебрежимо малым при неограниченном увеличении
размеров кристалла. Тогда величина С (а2) может быть записана в виде
С (и2) = 2 J In tG (t) dt. (5.7.17)
Если величина С(ю2) известна, то функцию G((c)2) можно найти, либо
пользуясь формулой (3.2.29), либо при помощи формулы, выведенной Дайсоном
