Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотреть метод, использованный Дином в его расчетах. Уравнение в
конечных разностях для одномерной решетки с закрепленными концами может
быть записано в виде
причем kn есть силовая постоянная связи между частицей п и частицей я-И.
где
') С. Domb, частное сообщение (1959).
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки '269
Рассмотрим теперь последовательность полиномов go (v) = 1. gx (v), g2
(v).gn (v),
где
it (v) =
а, - v Р* 0 0 ... 0 0
Р" аг - v Рз 0 ... 0 0
0 Рз а3 -v Р4 ... 0 0
. . о 0 0 0 ... Pi щ - V
(5.7.49)
Нас интересуют решения уравнения gn(v)=0. Для последовательности
полиномов g выполняются соотношения
gt (v) = (а{ - v) gt_x (v) - pfo_2 (V), (5.7.50)
которые легко проверить, разложив определитель по элементам последнего
столбца. Следовательно, полиномы gi(v) образуют последовательность
Штурма1) (см. [26]), и для них справедлива следующая теорема.
Если а и b - вещественные числа и Ь>а, то число корней уравнения gn(v)=0,
которые лежат в интервале (а, Ь), равно v(b)-v(a), где v(x)-число перемен
знака в последовательности go, gi(x), gz(x), ..., gn(x).
Способ Дина состоит в том, что строятся случайным образом линейные
цепочки и предыдущая теорема используется для вычисления полной функции
распределения N(v), определяющей число нормальных колебаний, квадрат
частоты которых ю2 меньше v. Функция N(v) определяется формулой
N(v) = v(v). (5.7.51)
В первом описании своих численных экспериментов Дин [199] рассматривал
лишь случай р = '/ч, причем степень порядка в решетке менялась
(чередующаяся
¦) Последовательность полиномов fi(x), U(x), .... /т(лс) называется
последовательностью Штурма в интервале (а, о), если она удовлетворяет
двум требованиям: 1) если в некоторой точке х рассматриваемого интервала
полином 1ь(х) обращается в иуль, то два соседних полинома fh-i(x),
fk+\(x) в этой точке не обращаются в нуль и имеют разные знаки; 2) первый
полином последовательности fi(x) не обращается в нуль в рассматриваемом
интервале.
270
Глава V
двухатомная решетка считалась полностью упорядоченной). Степень порядка
описывалась параметром R*=*2p,- 1, где р,-доля атомов сорта А расположен-
Фиг. 32. Функция распределения квадратов собственных частот одномерной
решетки со случайный распределением двух компонент, с одинаковым
относительным содержанием.
Отношение масс компонент равно 2. /-результаты, полученные Дином для па*
почки из 32 000 частиц с помощью вычислительной машнны; 2-приближение,
основанное на 20 моментах, нолучеиное Домбоы и др. [131]; 3-спектр
упорядоченной двухатомной цепочки (199).
ных в четных узлах. Были построены различные цепочки, длина которых
менялась от 2000 до 64 000 атомов. На самом деле строилась лишь цепочка
половинной длины; вторая половина цепочки получалась заменой атомов А на
атомы В и наоборот. Функция N(v) для данной цепочки определялась из
уравнения
Ai(v) = tt<-V- ^j(v) . (5.7.52)
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 271
которое получается из (5.7.50) при подстановке hi(v)=>gi(v)/gj_i(v). Если
оказывалось, что некоторая величина Л<(у) равна нулю, то она заменялась
величиной 2-30. Считается, что такой способ, действия не меняет
распределения нулей. На фиг. 32 показан типичный
Отношение масс равно 2, отношение постоянных взаимодействия между
ближайшими и следующими за ближайшими соседями составляет 1/28, обе
компоненты содержатся в решетке в равных количествах. Гистограмма
получена с помощью вычислительной машины для цепочки, состоящей из 8000
частнц [202].
спектр, полученный Дином для т/М=2. Поскольку вычислялась функция N(v), а
не N'(\) (приведенная на графике), то здесь возможны некоторые ошибки,
обусловленные численным дифференцированием.
Рассмотренные выше работы были распространены Дином и его сотрудниками
[200 - 202] на ряд других случаев. В этих работах гистограммы для G(g>2)
были получены непосредственно, а не путем численного дифференцирования
функции N(v). Отличительной чертой всех спектров, полученных Дином,
является тонкая структура в области высоких частот. Дин [201] утверждает,
что эта структура связана с примесными полосами, положение которых можно
приближенно определить,
272
Глава V
если рассчитать частоты различных скоплений легких атомов, находящихся в
окружении тяжелых атомов. Подробно эти расчеты будут изложены в его
следующей статье. Дин и Мартин [200] опубликовали также несколько работ,
содержащих обобщения на случай двумерных решеток и одномерных решеток с
дальнодействием. Вычисления для случая двумерных решеток до сих пор не
были подробно опубликованы, но Мартин [202] рассмотрел случай одномерной
решетки с взаимодействием ближайших и следующих за ближайшими соседей.
Для достаточно малых силовых постоянных взаимодействия следующих за
ближайшими соседей он пришел к следующим качественным выводам:
1. Спектр в целом смещается в сторону более низких частот.
2. Пики в области высоких частот становятся ^же и выше. Типичная
