Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
результат.
Рассмотрим решетку с п одинаковыми примесными атомами и рассмотрим
некоторую термодинамическую функцию, зависящую от положения каждого из
примесных атомов, которую мы обозначим через 5 (п, г2, ...,г"). Эта
функция может быть разложена в следующий ряд:
П
s (Г,..г.) = 5 (0) + 2 [S (г,) - 5 (0)] +
/=1
П
+ 1Г 2>(г" 0)-5(г/)-5(0) + 5""1 +
i,j=г
п
+ ЗГ 2 S(rt, тк) - S(jj, rft) -|-
i.j.if* i + 5(ri)+5(ry)+5(rft)-5(0)H- .... (5.7.24)
где штрих у суммы означает, что все члены с совпадающими индексами
опускаются. В общем случае интерес представляет не значение самой функции
5(гь ..., гп) в некоторой точке (rt, ..., rn), а некоторое ее среднее
значение, которое мы обозначим через (5(л)) и для которого можно написать
<5(л)> = 5(0) + л<5(1)-5(0)) + + -л-(-^<5(2)-25(1)+5(0)>+ ..., (5.7.25)
где через S(k) обозначены величины S, соответствующие наличию в кристалле
ровно k примесных атомов. Усреднение в k-u члене произведено с помощью
функции распределения положений примесных атомов. Если через W{ru ... ,
rft) обозначить полную вероятность того, что в каждом из узлов (п, г2,
... ,rft) находится дефект, то получим
<5(1)-5(0)>=2 U?(r)[S(r)-S(0)],
<S(2)-2S(1)+S(0)> =
= 2 W(rlt r2) [S (rlt r2) - 25 (r,) + 5 (0)]. (5.7.26)
rU r3
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 259
Концентрация примеси равна c-rtfN. Если при N -* оо (S(0)) - S0,
<S(l)-S(0)> = -§-
С (5.7.27)
<S(2)-2S(1) + S(0)> = ^.
<S (3) - 35 (2) + 3S (1) - 5 (0)> = A.
и n -*¦ оо таким образом, что выполняется соотношение n/N=c, то величина
(5(л)) становится равной
S (с) = S0Н- S^c+-j52 с2 Н- • •. . (5.7.28)
Отсюда видно, что величина Si есть умноженное на N приращение 5 при
введении лишь одной примеси в идеальную решетку, величина 5г есть
умноженное на N2 "S-взаимодействие" пары примесных атомов, усредненное по
всем возможным расстояниям этих атомов друг от друга.
Аналогичное разложение можно получить с помощью параметра дальнего
порядка [73].
Все термодинамические функции решетки можно представить как средние,
производя усреднение при помощи функции распределения частот. Однако
расчет спектра частот разупорядоченной решетки весьма сложен, и поэтому
ряд исследователей, желая обойти эту трудность, стали искать
термодинамические функции путем непосредственного использования теории
возмущений. Именно таким образом Пригожин, Бинген и Джи-нер [206, 207]
рассчитали нулевую энергию изотопически разупорядоченной решетки. Они
показали, что нулевая энергия разупорядоченной решетки несколько ниже,
чем полностью упорядоченной, так что при низких температурах решетки,
состоящие из двух изотопических компонент, будут иметь тенденцию
разделиться на две изотопические фазы. Вейсс и Марадудин [197] для
исследования подобных задач развили аналитический метод, основанный на
разложении контурного интеграла (5.3.3). Они повторили и расширили
результаты
17*
260
Глава V
Пригожина, Бингена и Джинера, а также получили ряд совершенно новых
результатов.
Запишем матрицу А(ю) в виде
А (со) = I -j- D (со); (5.7.29)
тогда, основываясь на формуле (5.3.7), можно прийти к следующему
соотношению [197]:
А5 = -2^- Jg(2)</ln|A(z)| = с
(5-7-30)
л=1 С
где С - контур, показанный на фиг. 22. При рассмотрении задач, связанных
с разупорядоченной решеткой, нас интересует среднее по всем конфигурациям
величины AS, которое мы обозначим через (AS) и которое можно записать в
виде
оо
(AS> = -5L-21^p- / g(z)?(SvDn(z))dz. (5.7.31)
л=1 С
Последовательные члены этого ряда соответствуют возрастающим степеням
параметра теории возмущений, в качестве которого было выбрано отношение
разности масс к средней массе. Задачи комбинаторики, возникающие при
усреднении в формуле (5.7.31), рассмотрены в работе [169]. Ряд (5.7.31)
можно записать аналогично разложению по степеням плотности,
встречающемуся в теории неоднородных газов.
Рассматриваемая здесь теория полностью была применена лишь к модели
простой кубической решетки, в которой учитывались взаимодействия лишь
ближайших соседей, так как для одного и двух измерений функцию Грииа
можно записать в конечном виде. Если ввести обозначения
М = рМх + (\-р)Мг, АМ = М1-М2, ц =
(5.7.32)
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 261
то получающиеся ряды теорий возмущений будут сходиться при
и нулевая энергия разупорядоченной линейной цепочки, приходящаяся на одну
частицу, может быть записана в виде
Для линейной цепочки оказалось возможным найти поправочные члены порядка
ц2 к свободной энергии и к теплоемкости, справедливые во всей области
изменения температур
При расчете нулевой энергии двумерной и трехмерной разупорядоченных
решеток Пригожин и Джинер [207] вычисляли встречающиеся им интегралы
приближенно, используя дебаевский спектр частот. Однако сонпадение
результатов их расчетов с результатами более точных расчетов Марадудина и
Вейсса оказалось настолько хорошим, что использование дебаевского спектра
