Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
гистограмма, взятая из работы Мартина, приведена на фиг. 33.
Недавно Борланд [397], Хори [398] и Матсуда [399] показали, что
аналитическое выражение для спектра частот изотопически разупорядоченной
двухкомпонентной линейной цепочки с взаимодействием лишь между ближайшими
соседями должно быть тождественно равно нулю для бесконечно большого
числа особых частот, которые при отношении масс, равном 2, определяются
соотношением (c)j=(0i, sin[jtj/2(/+1)] (/=1, 2, 3, ...). Первые семь таких
нулей отчетливо видны на спектре, численно рассчитанном Дином и
представленном графически на фиг. 32.
ГЛАВА VI
ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК
§ 1. Зависимость низкотемпературной теплоемкости малых частиц кристалла
от их размеров
Все наши предыдущие рассуждения относились к решеткам, на которые были
наложены циклические граничные условия Борна - Кармана. Используя теорему
Ледермана, мы смогли показать, что погрешности, которые мы вносим в
распределение частот и в различные термодинамические функции, используя
такие нереальные граничные условия в пределе бесконечно большого числа
степеней свободы рассматриваемой решетки, будут исчезающе малыми.
Однако существуют такие задачи, в которых уже недопустимо пренебрегать
влиянием поверхностей на колебательные свойства твердого тела. Когда
размер частиц становится настолько малым, что отношение площади
поверхности к объему уже не будет пренебрежимо малым, как это может иметь
место для порошковых образцов, используемых для экспериментального
определения теплоемкости при низких температурах, то можно ожидать, что
влияние поверхностей изменит зависимость термодинамических функций от
температуры и приведет к отчетливому эффекту, связанному с размерами
[245]. Розеншток [246] отметил, что если циклические граничные условия
заменить условиями свободных поверхностей кристалла, то оптический спектр
поглощения ионной решетки даже в гармоническом приближении будет
представлять собой непрерывный фон со структурой. Этот эффект должен быть
тем отчетливее, чем меньше размеры образцов. Далее, свойства многих
полупроводников, например подвижность электронов и дырок в поверхностных
слоях, сильно зависят от свойств поверхности [247].
18 Зак. 1491
274
Глава VI
Чтобы пояснить сказанное простым примером, рассчитаем приближенно
низкотемпературную теплоемкость кристаллического твердого тела с учетом
влияния границ и покажем, что этот учет приводит к появлению в обычном
дебаевском "законе ТН дополнительного члена вида b'PN¦'/", где N - число
атомов твердого тела. По-видимому, при температурах порядка 1°К член с Т2
может вносить заметный вклад в теплоемкость.
Поскольку нас интересует теплоемкость только при низких температурах, то
колебания решетки мы рассмотрим в приближении Дебая, которое в
рассматриваемом случае является достаточно хорошим. Согласно теории
Дебая, частоты нормальных колебаний твердого куба с ребром длины L и с
закрепленными гранями равны
где Ci и Ct - соответственно скорости распространения в кристалле
продольной и поперечной волн. Обозначим для простоты через а2 величину
n2c2/L2, где с обозначает либо Ci, либо Ct в зависимости от того, какую
ветвь функции распределения частот мы рассматриваем.
Поправку к функции распределения квадратов частот нормальных колебаний,
обусловленную влиянием поверхности, можно найти, воспользовавшись
представлением типа (3.2.18а)
Мы пока опускаем зависимость от номера ветви и функцию f (s) определяем
формулой
1\, 1%, /3 - 0, 1, 2, ..., (6.1.1)
с+1оо
с-loo
00
f(s) = 2exp(- a2s/*2) =
п=о
Влияние поверхностей на колебания решеток 275
Для получения второй части этого выражения мы применили формулу
суммирования Пуассона. Главные члены в разложении функции f3(s) имеют вид
где величина h(s), кроме членов ряда, входящего в формулу (6.1.3),
содержит еще постоянный член. Применяя к этой формуле обратное
преобразование, получаем
где опущенные члены имеют меньший порядок относительно от1 или L.
Следовательно, спектр ^ (со) можно записать в виде
Формула (6.1.6) была получена суммированием величин Gj(а2) по всем трем
ветвям. Невыписанные члены формулы (6.1.6) имеют более низкий порядок
относительно L, но их можно при желании получить, применяя формулу
обращения к h(s) в формуле (6.1.4). Формула
(6.1.6) была получена при помощи других методов в работах [248-251].
Максимальная частота со г, определяется из условия
где N - полное число атомов в кристалле, и явное выражение для нее имеет
вид
(6.1.5)
(6.1.6)
где
Cj=Cf! + 2с~1.
(6.1.7)
6 Ь2в>1 12 L(0l
16Я С4 ' 16ЯС|
• • • t
(6.1.8)
о
276
Глава VI
С помощью полученных результатов можно вычислить низкотемпературную
теплоемкость и найти, что
(6.1.10)
где величина в определяется соотношением Q = h(>)i)/k, a определяется
главным членом в формуле (6.1.9). Отношение слагаемого, пропорционального
Т2, к слагаемому, пропорциональному Р, содержит множитель N-'i>(&/T)\
следовательно, это отношение увеличивается при понижении температуры и
