Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
частот в подобных расчетах, по-видимому, можно считать обоснованным.
При попытках рассчитать этим методом спектр частот разупорядоченной
решетки получаются разложения по б-функциям и их производным, которые
непригодны для описания спектра, хотя средние значения, вычисленные с
функцией распределения, получаются правильно. Это обстоятельство было
отмечено независимо Лифшицем и Степановой [192].
?о+(д?о> *"
= {\+0,3927р(\ -p)tf-
- 0,3333 [р (1 - р? - /(1 - р)\ цЗ+ + [0,2945/7(1 - р) (1 - 6р + 6/)+
N
+ 0,9769/(1 _^)2]ц4 + о(ц5)}. (5.7.34)
262
Глава V
Домб и др. [131] подробно исследовали спектр частот одномерной решетки
при помощи метода моментов. Если динамическую матрицу обозначить через D,
то требуемые в этом методе выражения типа Sp(Dft) можно записать,
согласно формулам (2.1.69) и (3.5.5), в виде циклических произведений
Dn^fin^Dn^ • • • ^Vl. где индексы п пробегают последовательность целых
чисел. Однако поскольку величины D" отличны от нуля лишь при г - s=0, ±1
(если рассматривается взаимодействие только ближайших соседей), то вклад
в след матрицы будет давать лишь небольшое число членов в циклическом
произведении. Такие члены можно изобразить при помощи связанных диаграмм.
Этот результат справедлив и при большем числе измерений, однако диаграммы
при этом становятся более сложными. Теперь задача сводится к подсчету
числа всех диаграмм, вносящих вклад в выражение для рассматриваемого
члена. Это можно сделать для членов любого порядка, хотя получающиеся при
этом выражения оказываются весьма громоздкими. Если ввести обозначение
уп = /юГп-|-(1-/>)ЛГп, (5.7.37)
то выражение для момента порядка 2п может быть записано в виде
И2/>=, 2 2''1+Г2+'"/?(г;, rlt г', г2, ...)Х
г1> г1' г2* • "
Yv /V /V , , (5.7.38)
rl+rl rl+r2+r2 r2+rS+rS -
где сумма берется по всем таким наборам несовпадающих значений rv г2,
..., г', г2, ..., для которых 2(rj + -fr2 + . ..)+rJ + r2+ ...=я.
Величины F определяются формулами
F(r;)=i,
F(rv rv r2, r2, ..., /¦")- , X
i i
(>~l+',2 + r2~1)1 (Г2 + Г3+Г3~ Q1 (ГП-1 + 'я~1)1
(rj-1)1 r21/-21 (г2-1)!г3!гз1 (r"_i - \)\r'n\ *
(5.7.39)
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 263
Для величин F можно построить производящую функцию, но в любом случае
вычисления по формуле (5.7.38) очень трудоемки. Был опубликован [131]
расчет спектра частот разупорядоченной линейной цепочки, в котором
использовались моменты вплоть до цго, хотя в работе Чена и Матсуды1) были
вычислены моменты вплоть до иге- Домб2) вычислил четные моменты вплоть до
|4го для трехмерной кубической решетки; моменты для трехмерной решетки
вычислял также и Бредли [241].
На фиг. 13 приводились последовательные приближения для спектра g(ea) при
р=0,5 и MAlmB-2. Низкочастотную область спектра можно определить,
пользуясь формулой (5.3.25). Если разложить спектр в окрестности точки ю
= 0 в степенной ряд
g (ю) = с0 + с&Р-+- C4W4 + ..., (5.7.40)
то несколько первых коэффициентов с будут иметь вид [131]
1 (М\Ч,
0 я I Y )
с>" к (тГ [1 _ 1+ж в1*+10 И • (5J-41)
с<=-к (тГ [4 - т -i +0 "] •
где у - силовая постоянная, а Р 2 "/>(!-/>). Рз = Р (1 - Р) (2р - 1),
" = (МВ-МА) [РМА + {\-р)Мв\-\ МВ>МА} ' ' '
Эти поправки были учтены в длинноволновой части спектра, изображенного на
фиг. 29. На противоположном конце спектра также были учтены поправки,
полученные на основании рассмотрения разупорядоченной решетки с массами т
и оо. Такие решетки состоят из конечных цепочек с массами т, зажатых
между абсолютно твердыми стенками. Как мы уже видели, в этом
') С. Т. Chen, Н. Matsu da, частное сообщение (1959).
*) С. Do mb, частное сообщение (1959).
264
Глава V
случае частоты нормальных колебаний можно вычислить непосредственно, и
оказывается, что вблизи максимальной частоты евь справедливо соотношение
ww-;fw*~(.-rt"p [V8*T_JUJ)]-
Моменты обратных масс разупорядоченной решетки выражаются формулой
Р ¦ 1- Р Р [t ¦ 1-р (туI ^ р + (1 - р)(т/М) HF' Ма ~ тп L р \Л1 J J ^
тп
(5.7.44)
и поэтому они ограничены сверху моментами решетки с массами т и оо,
причем соответствующая вероятность равна р+(1 - р) (m/М). Поведение
спектра такой решетки вблизи ш=Ю1, описывается формулой (5.7.43). Легко
доказать следующую теорему [131], которая интуитивно кажется очевидной.
Пусть ц" пп - моменты порядка п спектров gi(co) и giia) соответственно, и
пусть Hn^v" для всех п, причем по крайней мере для одного значения п
имеет место неравенство. Тогда в любой окрестности точки ш = col величина
jV( (со)-УУ2(со) не может быть отрицательной для всех значений а. Поэтому
справедливо утверждение, что полный спектр ведет себя в окрестности точки
cd = g>i" по крайней мере качественно, в соответствии с формулой
(5.7.43). С учетом этой поправки спектр принимает вид, изображенный на
фиг. 29. На фиг. 30 представлено несколько других спектров, вычисленных
при помощи 20 моментов.
Пожалуй, более надежными, чем сами спектры, являются термодинамические
функции, вычисленные с помощью этих спектров. В частности, в связи с
