Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 66

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 114 >> Следующая

г) М' замещает М2, М' < А12.
Тщательное исследование как зонных, так и примесных частот для каждого из
перечисленных четырех случаев было произведено Мазуром и др. [186],
рассмотревшими двухатомную линейную цепочку с закрепленными
¦) Р. М а г и г, не опубликовано.
234
Г лава V
концами. Для примесных частот они нашли, что в случае "а" ни одна из
частот не отщепляется от зоны. В случае "б" одна из частот отщепляется от
верхнего края акустической зоны и попадает в запрещенную полосу;
одновременно с этим одна частота отщепляется от верхнего края оптической
зоны. В случае "в" одна частота отщепляется от нижнего края оптической
зоны и попадает в запрещенную зону, а в случае "г" одна частота
отщепляется от верхнего края оптической зоны. В случае "б" особый интерес
представляет примесная частота, отщепляющаяся от верхнего края
акустической зоны и попадающая в запрещенную полосу. По мере того как
масса примесного атома стремится к нулю, эта частота приближается к
значению, соответствующему середине полосы. Мазур, Монтролл и Поттс
приписывают эту частоту поверхностным колебаниям (см. гл. VI). Хори и
Асахи [194] также решали рассматриваемую задачу, наложив, однако,
циклические граничные условия на смещения. Они показали, что сделанные
выше заключения не зависят от выбора граничных условий.
Чтобы показать эффективность метода функции Грина и привести конкретный
пример его применения, мы получим основные результаты работы [186],
используя этот метод и М*-преобразование. Предположим, что частица с
массой Ми находившаяся в начале координат, замещена частицей с массой (1-
е)М\. Не будем пока конкретизировать, какая из масс, Mi или Мг, больше.
При таком замещении из всех уравнений движения изменяется лишь одно -
уравнение движения частицы, расположенной в начале координат. Это
уравнение принимает вид
Afi (1 - е) (c)2и (0) + Y ["(1) - 2и (0) + и (-1)] = 0. (5.6.2)
Воспользуемся теперь ^'-преобразованием v (2 п) = (yVfjG)2 - 2y)'h и
(2л), v (2п+1) = - 2у)',г и (2л +1), (5.6.3)
ЛГо)2 - 2у = {Мр* - 2у)Чг (уИ2ш2 - 2у)'1г
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 235
и приведем уравнение (5.6.2) к виду
-f- Y (1) - 2т> (0) -f- (-1)1 = 0. (5.6.4)
Определитель |А(о>)| для этой задачи оказывается равным
|Д(о>)| = 1 -g*(0; о>)Mfi (5.6.5)
Частоты возмущенных нормальных колебаний являются решениями уравнения
|А(о>)|=0 при условии, что берутся лишь положительные значения
квадратного корня. Эта задача на собственные значения может быть записана
в следующем виде:
соответственно для акустической и оптической ветвей. Чтобы найти частоты
возмущенных нормальных колебаний обеих ветвей, надо полученные из этих
уравнений значения 0 подставить в формулы (5.4.29а) и (5.4.296).
В случае ю2 > ю? = 2y(M 1 -}- М2 *). подставив в формулу (5.6.5)
выражение для g*(0; о>) из формулы (5.4.31а), получим
Это уравнение имеет решение только для е>0 независимо от того, больше ли
Mi, чем Мг, или меньше.
(5.6.6а)
tg- =-------------
2 2ш1(й2 sin
-тр < 0 < Я, (5.6.66)
а (0) = У1 - (4(r)Jw|/o)J) sin2 0
(5.6.7)
236
Глава V
Возводя обе части уравнения (5.6.7) в квадрат и решая получившеес: мы
находим
получившееся квадратное уравнение относительно о2,
2w?+(l-e2)(4 , V4e"0j -J-(l e2)2<02 ----S(T=^)----+-------yjTup)-----•
(5-6.8)
Это и есть полученное Мазуром, Монтроллом и Поттсом значение частоты,
отщепившейся от верхнего края оптической полосы. При Мг > М2, ю2 < о2 и в
случае ю2 < ю2 < Ц формулы (5.4.316) и (5.6.5) дают
Г.2 / ,л2 ,ч2 \ Чг
(5.6.9)
При M2>MV (r)2>(о2 и в случае Ц<о>2<со2 формулы (5.4.316) и (5.6.5) дают
К-"У'
(О2 - и? У*
Г-5- • (5-6.Ю)
л- со /
еш \ со2
Вследствие нашего условия о выборе знака квадратного корня уравнение
(5.6.9) имеет решение лишь при е>0, а уравнение (5.6.10) имеет решение
лишь при е<0. Решая эти уравнения относительно со2, получаем
й2 = 2(Г=1"у[Ч + (! -е2)Ц-(4е2со" + (1 ~е2)2Ц)'А].
(5.6.11)
Это выражение при е<0, Mi<M2 определяет частоту, отщепившуюся от нижнего
края оптической ветви и попавшую в запрещенную зону, а при е>0 и Mt>M2
определяет частоту, отщепившуюся от верхнего края акустической ветви.
Сравнивая условия, которым должны удовлетворять М\, М2 и е для
существования решений, с условиями, определяющими случаи "а" - "г", мы
видим, что они совпадают.
Зависимость частот локальных колебаний от е и от относительной величины
масс Mi и М2 иллюстрируется схематически на фиг. 26 для случая
двухатомной линейной цепочки.
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 237
Бьёрк [224] обобщил эти расчеты, рассмотрев замещающую примесь, у которой
масса и силовая постоянная связей с ближайшими соседями отличаются от
соответствующих величин для замещенного атома. Соотношения между массами
и силовыми постоянными, которые должны выполняться, для того чтобы
появились
Фиг. 26. Зависимость частоты локального колебания от массы примесного
атома в линейной двухатомной цепочке для случаев, когда соответственно
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed