Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
чем несколько
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 247
постоянных решетки), равно
Лехр(-аг) одно измерение,
?2- а , х (5.7.3)
- ехр(-аг) три измерения.
Постоянные А и а зависят от природы дефектов. Следо-
Я
Фиг. 27. Зависимость N от Q.
N (О)-относительное число пар примесных частот, расщепленных на велнчнну>
меньшую, чем О.
вательно, доля частот, расщепление которых меньше Q, равна
1 Q >А,
N(Q) = exp{--y-p[f(Q)l8} три измерения,
A/(Q):
одно измерение, (5.7.4)
где функция r(Q) определяется формулой (5.7.3). На фиг. 27 построен
график функции N(Q) для конкретного случая Л = сс=1, р=0,2 для трех
измерений.
248
Глава V
Ширина соответствующего дефекту уровня, являющаяся следствием
концентрационного расщепления, равна
a-fa^na-
2р А
а_1_2р °ДН0 измерение,
ОО
4яЛр J гехр^-аг - -у-pr^dr три измерения.
(5.7.5)
В случае трех измерений при р->0
(5.7.6)
Раньше мы показали [см. (5.5.31)], что частоты локальных колебаний
изотопического дефекта в линейной цепочке расщеплены на величину
2<в,е* Г1- еУ/в
°=(Г^г[т+7] ' <5-7-7>
где а - расстояние между ближайшими соседями в решетке. В этом случае
формула (5.7.5) дает следующую ширину уровня:
5=j5^_r 2р+1 ,п(2±1)1-1.
(1 -е*)'/" L а V 1 -е/J
где р - линейная плотность примесей.
Спектр частот разупорядоченных решеток в случаях как одного, так и трех
измерений был формально рассмотрен несколькими авторами. Никто из них не
смог предсказать формы спектра в целом; это удалось сделать только для
низкочастотного края спектра. Кроме того, в большинстве примененных
методов существенно используется преимущество одномерной задачи, где
точки можно расположить на одной линии; в случае же двух и трех измерений
такой "естественный" порядок отсутствует. Однако, несмотря на
недостаточные сведе-
Влияние дефектов и неупорядоченности на колебания решетки 249
ния о спектре частот, удалось, пользуясь теорией возмущений, достигнуть
некоторых успехов в определении влияния разупорядоченности на
термодинамические свойства кристаллических решеток.
Каждому конкретному случаю разупорядоченной решетки соответствует
определенный спектр частот ?х((r))> где Л,- параметр, характеризующий
структуру данной решетки. В дальнейшем нас будет интересовать величина
(#((c))) -спектр частот, усредненный по всем конфигурациям. Аналогично
любая аддитивная функция частот нормальных колебаний может быть записана
в виде
S = J gk(a)S (со) da. (5.7.8)
В этом случае нас будет интересовать величина (S) - термодинамическая
функция, усредненная по всем конфигурациям, т. е.
(S) = (f *"S((r))rf(r)) = f {g(<o))S(<o)d(o. (5.7.9)
Один из первых расчетов колебательных свойств разупорядоченной решетки
был сделан Менем и Орловым [237]. Они приближенно рассчитали
характеристическую температуру Дебая для изотопически разупорядоченной
линейной цепочки. При этом они аппроксимировали раз-упорядоченную решетку
упорядоченной двухатомной цепочкой, массы частиц которой связаны с
массами частиц исходной цепочки и, кроме того, зависят от относительной
концентрации атомов обоих сортов и от параметра дальнодействия. Было
показано, что ошибка такого расчета будет в основном пропорциональна
квадрату отношения разности масс двух атомов к их сумме. Температура
Дебая определялась по максимальной частоте двухатомной решетки.
Экстраполируя свои результаты на случай трех измерений, авторы
рассмотрели влияние упорядоченности на теплоемкость и электропроводность
сплавов.
Ньюэл [238] также рассчитал максимальную частоту разупорядоченной
решетки, используя при этом вариационный принцип для оценки наибольшего
собственного значения динамической матрицы.
250
Глава V
Существует одна задача, связанная с разупорядочен-ными решетками, которую
можно решить точно, - это задача о линейной цепочке, в которой массы
частиц одного сорта бесконечно велики [131]. Детальное знание спектра
такой системы может оказаться полезным при рассмотрении задач о
разупорядоченных цепочках, в которых масса атомов одного сорта гораздо
больше массы атомов другого сорта.
Наличие частиц с бесконечной массой существенно упрощает задачу,
поскольку в этом случае линейная цепочка разбивается на "острова" легких
атомов, ограниченные "стенками" неподвижных атомов. При большем числе
измерений даже для случая частиц с бесконечной массой едва ли можно
решить задачу аналитически. Рассмотрим цепочку из N атомов и обозначим
через р вероятность того, что легкий атом находится в данном узле.
Вероятность образования "острова" или последовательности п легких атомов
в пределе при N->oo равна pn( 1-р)2. Последовательности нулевой длины
соответствует одна бесконечно тяжелая частица; вероятность появления
такой последовательности равна (1-р). Частоты нормальных колебаний
цепочки, состоящей из п частиц с массой т и заключенной между абсолютно
твердыми стенками, равны
SIS
(О -cousin ~2(д1 5=1, 2, ..., п. (5.7.10)
Таким образом, любому рациональному числу из интервала (0, 1) (исключая
