Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
при уменьшении числа атомов в кристалле. Согласно оценке Монтролла [252],
для других металлов (например, Al, Fe, Си, Zn, Mo, Ag, Pt),
рассматриваемое отношение будет величиной порядка 1/100 при 1°К, если
образец взять в виде пленки толщиной 10~4 см или в виде проволоки
диаметром 10-4 см. Монтролл также приводит качественные соображения,
указывающие на то, что мы получим для этого отношения большую величину,
если для вычисления спектра g(w) использовать теорию колебаний решетки,
составленной из дискретных частиц.
Наше рассмотрение содержит один недостаток. При выводе формулы (6.1.10)
мы использовали частоты, соответствующие кристаллу с закрепленными
гранями. На самом деле следовало бы использовать частоты нормальных
колебаний упругого куба, грани которого свободны. Однако для такого
случая решение уравнений теории упругости в аналитическом виде не
найдено, так что мы не можем воспользоваться выражением, аналогичным
формуле (6.1.1). Таким образом, при расчете колебательных свойств малых
частиц возникают две задачи. Во-первых, следует найти правильные
соотношения между частотами нормальных колебаний и волновым вектором к.
Во-вторых, необходимо правильно определить функцию распределения частот,
учитывая конечный размер частиц. Решение задачи второго типа
рассматривалось нами выше.
Всей задачей в целом занимался Стреттон [253], который рассмотрел
колебания изотропной упругой среды,
Влияние поверхностей на колебания решеток 277
имеющей бесконечную протяженность вдоль осей х и у, но конечную (малую)
толщину вдоль оси г. На х- и "/-составляющие смещений были наложены
периодические граничные условия Борна - Кармана, а поверхности z=±Lz
считались свободными. Таким образом, модель Стреттона применима к
длинноволновым колебаниям тонких пластин. Колебания двумерной полубес-
конечной пластины с двумя параллельными свободными поверхностями были
рассчитаны много лет назад Лем-бом [254]; Стреттон использовал результаты
Лемба и обобщил их на случай трех измерений. Выяснилось, что возможны
четыре типа волновых движений:
1) чисто поверхностные волны, амплитуды которых экспоненциально
убывают по мере удаления от поверхности в глубь пластины;
2) смешанные волны, представляющие собой наложение продольных
поверхностных волн и поперечных объемных волн;
3) чисто объемные волны, которые представляют собой наложение
продольных и поперечных объемных волн;
4) поперечные объемные волны.
Каждое из этих волновых движений может быть либо симметричным, либо
антисимметричным относительно центра пластины. Для каждого из четырех
типов волновых движений была определена функция распределения частот. При
расчете спектров объемных волн удерживались члены, пропорциональные как
объему кристалла, так и площади его поверхности, как это сделано в
формуле (6.1.6); при расчете же спектров поверхностных волн учитывались
лишь главные члены, т. е. члены, пропорциональные площади поверхности
кристалла. Если функциональная форма спектра частот нам известна, то мы
можем ввести дебаевскую частоту обрезания [как это сделано в формулах
(6.1.8) и
(6.1.9)] и вычислить теплоемкость. Стреттон, однако, проводил свои
расчеты для пространства волновых чисел и не определял явно частоту <о.
Он выяснил вид зависимости удельной теплоемкости от температуры во всем
интервале ее изменения; однако, поскольку предположения, лежащие в основе
его модели, справедливы
278
Глава VI
для реальных кристаллитов лишь в области низких температур, мы приведем
здесь только ту формулу Стрет-тона, которая относится к низким
температурам:
С" = СР[1+-^-ш(7-)]. (6.1.11)
Здесь С" есть выражение дебаевского "закона Т3" для теплоемкости большого
кристалла; величина А(х) -постоянная, зависящая через соотношение
х=(2а)_| - 1 от постоянной Пуассона а для континуума; N - число атомов в
единице объема кристалла и
'b(7'>=W'(t)- <6ЛЛ2>
Таким образом, полученный результат находится в качественном согласии с
формулой (6.1.10). Было бы очень интересно провести аналогичное
вычисление для кристаллов с кубической симметрией, но такой расчет был бы
гораздо сложнее изложенного здесь.
Результаты аналогичных расчетов влияния поверхности на низкотемпературную
теплоемкость малых пластин были недавно опубликованы Дюпюи и др. [255].
Эти результаты, полученные для изотропного твердого тела, имеют
чрезвычайно простую форму в пределе низких температур.
ft3 2Cl - ЗС?С? + 3Cf
Cs(Т)-Зя?С(3) с*С>(С*-С*) Sr' (6ЛЛ3)
Здесь S - площадь поверхности, Ct и Сг - соответственно скорости звука
для поперечной и продольной волн. По форме это выражение полностью
аналогично формуле Стреттона (6.1.11)., но отличается от нее
коэффициентом ST*. Однако Стреттон [400] недавно обнаружил ошибку в своих
ранних расчетах и получил результат, совпадающий с (6.1.13).
Даже в тех расчетах влияния поверхности на низкотемпературную
теплоемкость, в которых правильно подсчитывается число частот и в которых
границы рассматриваются надлежащим образом, обычно делается одно
