Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Поверхностные колебания в дискретных решетках
Перейдем теперь от рассмотрения поверхностных волн в континууме к
задачам, более близким к теме этой главы, а именно к теории поверхностных
волн в кристаллических, или дискретных, решетках.
Изучением поверхностных колебаний кристаллических решеток занимались
Лифшиц и его сотрудники [260-263], используя методы функции Грина,
аналогичные методу, описанному в предыдущих главах этой книги. Авторы
рассматривали граничные поверхности кристалла как протяженные дефекты в
бесконечном кристалле, соответствующие отсутствию взаимодействия между
атомами на противоположных сторонах граничных поверхностей. Поверхностные
волны, возникающие в этом случае, быстро затухают с увеличением
расстояния от поверхности. Авторы нашли, что функция распределения частот
рассматриваемых поверхностных ко* лебаний распадается на несколько
ветвей. Одна из ветвей в пределе бесконечно длинных волн приводит к
хорошо известным релеевским волнам континуальной теории. Другие частоты
соответствуют поверхностным
282
Глава VI
оптическим ветвям, не имеющим аналога в континуальных теориях. Такие
поверхностные оптические колебания были также найдены Уоллисом [264,
265].
Рассматривая трансляционную симметрию решетки в направлении, параллельном
свободной поверхности, Лифшиц установил, что оптически активными могут
быть лишь предельные колебания, соответствующие бесконечно длинным
поверхностным волнам; это справедливо также и для поверхностных
оптических ветвей. Он предположил, что такие колебания могут привести к
появлению дополнительных линий в спектре инфракрасного поглощения
кристаллов и в их спектрах комбинационного рассеяния.
Тщательное исследование влияния свободных поверхностей на колебания
одномерных, двумерных и трехмерных альтернантных двухатомных решеток было
выполнено Уоллисом [264, 265], который использовал модель с центральными
и нецентральными взаимодействиями между ближайшими соседями, т. е.
модель, для которой было произведено большинство расчетов, описанных в
этом обзоре. Необходимость использования двухатомной решетки была вызвана
тем, что рассматриваемая модель кристалла слишком упрощена (в ней
отсутствует связь между х-, у- и г-составляющими смещений), чтобы в
моноатомной решетке могли возникнуть поверхностные колебания. Это легко
показать, переходя в уравнениях движения рассматриваемой решетки к
пределу континуума и сравнивая получившиеся уравнения с выведенными из
теории упругости уравнениями движения, соответствующими волнам Релея и
Лава. Как было отмечено Капланом [266], поверхностные колебания в
рассматриваемой простой модели моноатомной решетки могут возникнуть лишь
в том случае, когда массы атомов поверхностных слоев гораздо меньше масс
регулярных атомов или когда связи поверхностных атомов с внутренней
частью кристалла гораздо сильнее, чем связи между регулярными атомами.
Уоллис прежде всего исследовал частоты и форму колебаний в конечных
одномерных двухатомных решетках. Он показал, что для одномерной решетки
можно вывести общий критерий существования поверхностных
Влияние поверхностей на колебания решеток 283
волн, состоящий в том, что общая масса легких атомов должна быть меньше
общей массы тяжелых атомов. Если поверхностные колебания существуют, то
их число равно числу концов решетки, на которых расположены легкие атомы.
Если крайними атомами являются атомы разного типа, то частота
единственного поверхностного колебания попадает в середину запрещенной
зоны частот. В том случае, когда на обоих краях и в центре находятся
легкие атомы, частоты обоих поверхностных колебаний попадают в
запрещенную полосу, причем частота антисимметричного поверхностного
колебания несколько превышает частоту симметричного колебания. Если
центральный атом тяжелый, то частота симметричного поверхностного
колебания несколько выше.
В случае конечных двух- и трехмерных решеток для анализа колебаний,
связанных со свободными гранями, ребрами и вершинами решеток, приходится
прибегать к теории возмущений. Используя первый порядок теории возмущений
для двумерной двухатомной альтернант-ной решетки со свободными краями,
состоящей из 2NX2N частиц, Уоллис выяснил природу всех 4N2 нормальных
колебаний для разных значений параметра разложения т/а, где т - силовая
постоянная нецентральных взаимодействий ближайших соседей, а а - силовая
постоянная центральных взаимодействий ближайших соседей. Решетка была
выбрана так, что массы атомов вдоль краев решетки чередовались, а в углах
решетки находились два легких и два тяжелых атома. Результаты расчетов
Уоллиса можно сформулировать следующим образом.
Следует рассматривать два случая. Если через F и G обозначить величины
р_ 2N(Mi-Mi)
MlMish(N\nMl/M2) '
2(М*+М%) <6-ЗЛ)
MiMt(Mi + Mt) '
то характер частот нормальных колебаний рассматриваемой решетки будет
различным в каждом из двух
284
Глава VI
случаев:
-у-<?<1 или f. (6.3.2)
W+-J Q W + y
