Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку даже для не слишком больших величин N может выполняться лишь
второе условие, то случай, когда выполняется первое условие, мы вообще не
будем рассматривать.
При х/а=0 решетка распадается на 2N двухатомных цепочек, каждая из
которых содержит 2N частиц, причем на концах ее расположены один легкий и
один тяжелый атом. Нормальные колебания в этом случае будут совпадать с
колебаниями одномерной решетки с тем отличием, что частота каждого
колебания (включая и поверхностное колебание, квадрат частоты которого
лежит в середине запрещенной зоны) будет 2М-кратно вырождена. При
отличной от нуля величине параметра х/а вырождение снимается. Каждая из
частот акустической и оптической ветвей, за исключением нулевой частоты,
расщепится на зону, состоящую из 2N частот, 2N - 2 верхних частот которой
соответствуют волнообразным колебаниям, а две нижние частоты, несколько
отстоящие от остальных, соответствуют продольным колебаниям ребер. Во
всех случаях нижняя из этих двух частот соответствует симметричному
колебанию, а верхняя - антисимметричному колебанию. Нулевая частота
расщепится на 2N частот, из которых 2N - 1 частот соответствуют
волнообразным колебаниям. Оставшееся колебание имеет нулевую частоту.
Поверхностное колебание, квадрат частоты которого при х/а=0 лежит в
середине запрещенной полосы, расщепляется на зону, состоящую из 2N
частот, 2N - 2 верхних частот которой соответствуют поперечным колебаниям
ребер. Две нижние частоты отделяются от остальных и соответствуют
колебаниям вершин. Нижняя из этих частот соответствует симметричному
колебанию, а более высокая - антисимметричному колебанию. Картина
расщепления показана на фиг. 34, где
Влияние поверхностей на колебания решеток 285
изображены верхняя частота акустической ветви, частоты в запрещенной
полосе и нижняя частота оптической ветви.
Поверхностные частоты, попадающие в запрещенную зону, исследовались
Уоллисом также с помощью метода
Оптическая ветвь
/-/ ; / -
а^|
/
/
/
/
/
J А
А
AS
J-
| Волнообразные колебания
/ А§ } Продольные колебания ребер
/--------------
s I
s----------------- }¦ Поперечные колебания ребер
S - -I
/А$ ===== } Колебания вершин
/ ?-------------- 1
-------------' / -.......... > Волнообразные колебания
/Ля - и } Продольные колебания ребер
т=0 хФО
Акустическая ветвь
Фиг. 34. Квадраты частот нормальных колебаний конечной двухатомной
квадратной решетки.
Буквами S и А обозначены соответственно симметричные и антисимметричные
нормальные колебания [265].
функции Грина. Уоллис использовал функцию Грина, соответствующую
циклическим граничным условиям, и поэтому не смог получить частот
колебаний вершин. Результаты его вычислений показали, что с точностью до
членов, линейных относительно параметра т/а, 2М-кратно вырожденная
частота колебаний ребер, лежащая в запрещенной зоне, не расщепляется, а
просто линейно возрастает с увеличением параметра т/а. При учете членов
квадратичных относительно т/а, эта ча-
286
Глава VI
стота расщепляется на зону, состоящую из 2N частот поперечных колебаний
ребер, и центр зоны смещается вверх от середины запрещенной полосы.
Интересно отметить, что различие между результатами теории возмущений,
которая дает расщепление уже в первом порядке относительно параметра т/а,
и результатами метода функции Грина является следствием того, что ширина
зоны в запрещенной полосе пропорциональна величине F, которая, будучи
конечной при конечных значениях N, стремится к нулю при N->oo. Функция же
Грина соответствует случаю
N=оо.
Аналогичные результаты были получены Уоллисом при использовании первого
порядка теории возмущений для случая трех измерений. Он рассмотрел
конечную кубическую решетку из 2NX2NX2N частиц, образующих двухатомный
альтернантный набор, причем такой, что в восьми вершинах в чередующемся
порядке расположены четыре легких и четыре тяжелых атома. Параметром
теории возмущений по-прежнему была взята величина т/а, причем обе силовые
постоянные нецентральных сил были приняты равными друг другу. При т/а=0
трехмерная решетка распадается на набор независимых параллельных
одномерных двухатомных цепочек с одним легким и одним тяжелым атомом на
концах. Таким образом, при т/а=0 все частоты 4М2-кратно вырождены. При
отличных от нуля значениях параметра т/а это вырождение снимается. Как и
для случая двух измерений, каждая частота акустической и оптической
ветвей, за исключением нулевой частоты, расщепляется на зону одинаковым
образом.
Здесь также надо рассматривать два случая, которые, как и раньше,
определяются условиями F/G^l. Как и для случая двух измерений, следует
рассматривать только те системы, для которых удовлетворяется второе
условие.
При отличных от нуля значениях параметра т/а каждая из 4А/2-кратно
вырожденных частот оптической и акустической ветвей распадается на три
группы расщепленных частот. В каждом случае частоты верхней группы
соответствуют волнообразным колебаниям. Сле-
