Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
физически нереальное упрощающее предположение.
Влияние поверхностей на колебания решеток 279
Это предположение о том, что все атомные силовые постоянные, или модули
упругости в приближении континуума, относящиеся к нескольким ближайшим к
поверхности слоям атомов, совпадают с соответствующими величинами для
всего объема кристалла. На самом же деле может оказаться, что лишь для
десятого или даже более далекого от поверхности слоя атомные силовые
постоянные не будут заметно отличаться от своих объемных значений. В
работах Стреттона [253] и Дюпюи [255] по крайней мере для изотропных
твердых тел достигнута сравнительно высокая степень точности, поэтому при
любой попытке выйти за рамки этих работ упомянутый эффект уже необходимо
учитывать.
§ 2. Поверхностные колебания полубесконечного континуума
Наиболее близкой к задаче расчета частот нормальных колебаний упругого
куба со свободными гранями является решаемая аналитически задача о
поверхностных колебаниях полубесконечного упругого континуума.
Первое исследование поверхностных волн было произведено Релеем [256],
который рассматривал волны на свободной поверхности полубесконечной
изотропной среды. Эти волны характеризуются экспоненциальным убыванием
компонент смещений при удалении от поверхности в глубь кристалла и обычно
называются волнами Релея. Открытые Лавом [257] поверхностные волны
второго типа содержат также поперечные деформации сдвига и наблюдаются в
изотропных пластинах бесконечной длины и ширины, покоящихся на некоторой
полубесконечной изотропной среде. Со времен Релея и Лава поверхностные
упругие волны в изотропных и особенно в анизотропных средах неоднократно
исследовались как сейсмологами, заинтересованными в объяснении процессов
распространения сейсмических волн путем исследования распространения волн
в полубеско-нечном твердом теле или в многослойных средах, так и
инженерами, которые используют кристаллические пластинки, например в
устройствах для контроля частоты.
280
Глава VI
Стоунли [258] показал, что в кубических кристаллах поверхностные волны
релеевского типа существуют лишь для определенного интервала значений
упругих постоянных Си, С12 и С44 и не существуют для других значений. В
последнем случае вещественная фазовая скорость связывается с
коэффициентами затухания, которые представляют собой комплексные, а не
вещественные величины. Отсюда следует, что компоненты смещений содержат
множители, которые зависят от расстояния до свободной поверхности как
произведение тригонометрической и экспоненциально убывающей функций.
Такие поверхностные волны были названы обобщенными волнами Релея.
Наиболее полное численное исследование поверхностных упругих волн в
кубических анизотропных кристаллах на основе континуальной теории было
выполнено Гази и др. [247, 259]. В этих статьях имеется подробная
библиография по рассматриваемому вопросу. Авторы при рассмотрении
поверхностных волн в кубических кристаллах использовали подход Стоунли и
исследовали возможность возникновения как релеевских, так и обобщенных
релеевских волн для всей области значений упругих постоянных, в которой
удовлетворяются условия устойчивости
Cji 0, Сц С12. Си -2С12, С44 0, (6.2.1)
необходимые для того, чтобы энергия деформации кристалла была
положительно определенной квадратичной формой параметров деформации (см.
[142, 143]). Полученные ими результаты относятся к поверхностям (001)
кубического кристалла, но в других отношениях они имеют общий характер. В
работе Гази показано, что поверхностные волны могут существовать, если
направление распространения совпадает с направлениями [100J или [110].
Кроме того, определены границы промежутка значений упругих постоянных,
для которых могут существовать релеевские или обобщенные релеевские
волны. Расчетным путем выяснено, что существуют такие области
направлений, которые не могут быть направлениями распространения
поверхностных волн как релеевского, так и обобщенного релеевского типа.
Эти
Влияние поверхностей на колебания решеток 281
направления располагаются, вообще говоря, в окрестности направления
[110]. Найдены условия, которым должны удовлетворять значения упругих
постоянных из области, определяемой соотношениями (6.2.1), для того,
чтобы существовали запрещенные направления распространения. Эти
запрещенные направления могут лежать в области "пространства упругих
постоянных", соответствующей как релеевским, так и обобщенным релеев-ским
волнам. Были произведены подробные расчеты фазовых скоростей и
коэффициентов затухания для различных направлений распространения между
направлениями [100] и [110]. Во всех этих расчетах предполагалось, что
упругие постоянные и плотность вблизи поверхности кристалла не отличаются
от соответствующих величин для всего объема кристалла. Такое приближение,
по-видимому, подходит для кристаллов макроскопических размеров, но оно
может стать слишком грубым по мере уменьшения размеров частиц.
