Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
как выглядит функция у{х, t)- форма струны или распределение напряжения в
антенне в тот или иной определенный момент времени, а важно знать,
насколько сильно выражена та или-иная гармоника. Такая постановка вопроса
возникает тогда, когда колебание у (л:, t) действует на резонатор. Здесь
важно знать, как представлено колебание данной частоты во всем агрегате
нормальных колебаний. В таких случаях быстрота сходимости несущественна,
а важно знать величины с{.
Итак, мы ставим следующий вопрос. Мы возбуждаем каким-та способом струну
или антенну. Каково при этом распределение амплитуд различных тонов?
Рассмотрим два случая.
Первый случай - щипковое возбуждение. Мы "щиплем11 струну в определенной
точке, отводя ее, как показано на рис. 182, а, а затем опускаем.
Второй случай - ударное Рис. 182. возбуждение. Струна не имеет
на-
чального отклонения, /(.*) = О, но в некоторых местах имеет начальную
скорость (рис. 182, б).
В первом случае начальная скорость по предположению равна, всюду нулю и,
следовательно, все В{ в (7) равны нулю. При. ? = 0 имеем:
/(х)=^А{<р,.(х).
i
Найти коэффициенты А< в этом разложении не трудно: ведь мье получили
задачу о разложении функции Грина в ряд по собственным функциям.
Как изменяется картина при изменении точки оттягивания; струны ?? При ? =
0 у есть функция от х при заданном ?:
/ УЧ г, ж V <Р<Ы <Р<(2) у(х, Q = K(x, У - 2j ------------ '
В рассматриваемом случае нормированные собственные функции таковы:
<P*(*) = j/ys №
четырнадцатая лекция
477
Кроме того, как мы знаем, здесь
Следовательно, можно записать решение в виде
. г'тглт . iT.x
(13)
Множители sin (inx/l) дают распределение каждого колебания. Зависимость
степени его возбуждения от ? определяется множителем sin(/x?//).
Удобнее всего сравнивать максимумы амплитуд отдельных колебаний.
Максимальная амплитуда г-го колебания есть
Здесь сразу видно, что разложение по собственным функциям •сходится - в
знаменателе стоит г2. Таким образом, ряд (13) имеет мажоранту
как известно, очень хорошо сходится (таким образом, здесь все ясно и без
теоремы Мерцера). Физически это означает, что с увеличением номера
обертона его амплитуда сильно падает.
От места, где мы щиплем струну, очень сильно зависит, насколько возбужден
тот или иной обертон. Если
то при данной величине начального отклонения г-ое колебание возбуждается
наиболее сильно. Данный обертон сильнее всего возбуждается тогда, когда
мы щиплем струну в точке, где он имеет пучность. Если
21 \ 1 т.-а2 Т2 *
а ряд
1
12
1_ _1_ 23 -1- З2
I 2 '
478
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
где п - целое число (возбуждение в узле данного обертона), то'
• ^ п
sin -j- = U
и г-ый обертон не возбуждается. Например, амплитуда второго обертона
равна нулю, если % - Ц2.
Отсутствуют все те обертоны, которые имеют узлы в точках, где мы щиплем
струну. Не безразлично, в каком месте инструмента мы щиплем струну.
Выбором этого места можно регулировать тембр.
В рассматриваемом случае каждый тон звучит в такой фазе, что ряд (13)
содержит только косинусы.
Перейдем ко второму случаю. Здесь все Л,-= 0 и
F{x) = = V д. (*). (14>
*
Предположим, что мы ударили струну в одной точке, так что функция F(x)
равна нулю во всем интервале, кроме точки Для того, чтобы действие было
конечным, F(x) должна быть в этой точке бесконечно большой, так чтобы
интеграл
i
| F(x) dx о
был конечным. Определенная таким образом i''(x) не является функцией в
собственном смысле1.
Дирак ввел "несобственную" функцию S(x- ?), которая по определению равна
нулю при х=^=^, причем
-1-00
| S(x- ?) dx = 1.
-СО
С S-функцией в сущности нельзя оперировать, как с функцией в собственном
смысле. Но в последнее время употребление S-функции было оправдано
математически. Теорию струны, возбуждаемой ударом в одной точке, можно
построить с помощью S-функции. Но мы подойдем к задаче по-другому.
1 [Задать функцию у - F(дг), значит задать значение у для каждого х; ср.
3-ю лекцию части I.]
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
479
Будем считать, что удар действует не в одной точке, а на конечном, но
маленьком участке. Тогда оказывается, что не важна "ширина'1 возвышения
(рис. 1.83), а важен лишь интеграл
г
P=\F{x)dx, (15)
о
он "задает тон". Действительно, если F(x) отлична от нуля только в очень
малом интервале, то sin(z~x/Z) имеет на этом интервале почти постоянное
значение. Поэтому для достаточно малых г (достаточно низких тонов) мы
получаем:
i ___ i
Ci = В( vX- = j F(x) fi (x) dx - |/-- [ F(x) sin l~~ dx ~
0 0
~ |/-^sin^ [ F(x)dx = j/-j P sin
откуда, воспользовавшись выражением для ~к(, находим:
Т-, у 21 . i~t
Вi = ¦: sin -Г- .
* тка I
Это верно, правда, только для не очень больших г.
Для максимальной амплитуды в случае ударного возбуждения мы получаем в
результате:
М,==- sin . (16)
% тка I v '
Каждое из колебаний возбуждается сильнее всего, если мы ударяем струну в
его пучности, и не возбуждается вовсе, если мы ее ударяем в его узле. Мы
видим, насколько важно место удара.
