Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 143

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 160 >> Следующая

разрыва, то
yt - kr (/>?).
Не трудно определить, что г = 1/а. Таким образом, значения yf (z' = l,
2,...) являются функциями номера' z и номера к той частицы, к которой
приложена сила, а именно:
двенадцатая лекция
457
Если сила равна не единице, a g, то yt просто умножается на g. Если
теперь силы действуют на все точки и gk - сила, приложенная к ?-ой точке,
то
П
у(= 2 Vagic-
Тс=1
Если
gi=gi COS \Jlt,
то, применяя принцип Даламбера, получаем окончательно для динамической
задачи:
<Pi = ^2 2 Vikgk- (5)
к b
Здесь уместно поставить вопрос о том, как поступить, если мы хотим
вычислить период колебаний распределенной системы, апроксимируя ее
посредством дискретной системы. Подход, основанный на дифференциальных
уравнениях, проще. Имея в виду только простоту, можно было бы не
переходить к анализу посредством интегральных уравнений.
Для перехода от (5) к интегральному уравнению напишем
*=?•
где р - макроскопический модуль упругости, а - длина отдельной "пружины".
Тогда
К,
гк -
? <"<*),
Пусть теперь ia = x, причем
а-*-0, i -*¦ со,
и, кроме того,
тк
а
= 9(0> а=Д?. Мы получаем в пределе
<р(х)- 1 [ V (х, 0 q (?) <р (Н) d\ -+- j V(x, с) g (с) 6д.
458
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Итак, исходя из дискретной модели и перейдя к пределу (мы не вдаемся в
вопрос о законности перехода), мы снова получили интегральное уравнение
(3). Интегральное уравнение устанавливается на основании физической
картины явления так же хорошо, как и дифференциальное.
Пусть дана краевая задача, которая формулируется на языке
дифференциальных уравнений следующим образом:
= -*(*)' (6)
(ai<p а2 - °" (7)
(Pi?4-^2 - 0 (8)
(общие граничные условия Штурма-Лиувилля). Для нее существуют
определенные собственные числа и собственные функции.
Можно доказать, что все собственные функции и собственные числа краевой
задачи удовлетворяют интегральному уравнению для той же задачи, и
наоборот. Совокупность собственных чисел и собственных функций в обеих
задачах одинакова.
Разумеется, то, что мы из физики получили для обоих случаев обе картины,
в значительной степени предрешает этот результат, но мы постараемся его
теперь доказать. Мы докажем, что решения интегрального уравнения (3)
удовлетворяют дифференциальному уравнению (6) при краевых условиях (7) и
(8), и наоборот.
Функция V(х, ?) непрерывна и удовлетворяет уравнению
Цр€) = °- <9)
Ее производная непрерывна всюду, кроме точки х - с,9 где она претерпевает
скачок
EU-.-r'fc EW"=i.
Уравнение (9) можно проинтегрировать в квадратурах. Мы найдем одно
решение для левой части системы (х <Д), другое - для правой (х>?).
Обозначим эти решения соответственно через рис. Имеем:
i(p?')=°, о,
ДВЕНАДЦА ТАЯ ЛЕКЦИЯ
459
откуда
- рО]=о,
или, интегрируя,
р (ср' - рс') = const.
Для случая, когда 1 не есть собственное значение, всегда можно построить
функцию Грина из следующих соображений: р и с выбраны так, чтобы р
удовлетворяло краевому условию (7), а с- краевому условию (8). При этом
рис линейно независимы (ср' - рс'^0) и при подходящей нормировке
и проверим, что построенная таким способом функция V(x, ?) удовлетворяет
всем поставленным условиям.
Имеем, дифференцируя (10) и (11) по х:
Я утверждаю, что составленное с таким V(x, ?) интегральное уравнение
эквивалентно дифференциальной схеме (6)-(8). Можно показать обычным
способом, что функция V(x, ?) - единственная функция, удовлетворяющая
всем поставленным условиям.
Покажем, что функция <р, удовлетворяющая дифференциальному уравнению и
краевым условиям, удовлетворяет и найденному интегральному уравнению.
р(ср' -рс/) = 1.
Возьмем теперь
V (х, ?) = Р (х)с(?) (0<х<?),
V(x, Q = P(H)*(x) (?<х</)
(10)
(И)
и, следовательно,
(12)
Имеем:
(13)
(14)
460
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Умножив (13) на V, (14) - на <р и вычитая, мы получаем: ilpWv-V'f)]=-
ivq9-Vg.
Будем теперь интегрировать по х в интервале (0, /). Так как при этом
нужно учитывать разрывность V', мы разделим интервал (0, I) на интервалы
(0, Е) и (Е, I) и будем интегрировать отдельно по каждому интервалу:
?-о -о Е.-о
р(?'V-V<p) = - 1 I Vqfdx- [ Vgdx-, (15)
0 0 о
1 I I
p(if'V-V'f) =-1 I Vqydx- j Vgdx. (16)
?+0 ?+0 ?+0
Левые части обращаются в нуль соответственно при х = 0, х - 1, так что
после сложения (15) и (16) остается:
i i
- р<? (?) 1К-0~~ К+о\ J о, q{x)<?(x)dx - J V(x, E)g(x)dx.
о о
Учитывая (12), получаем далее:
i i
?(?) = *{ V{x, §q{x)<?{x)dx-*-^V{x, Е) g{x) dx, о о
откуда, после замены х на ? и ? на х, следует уравнение
i i
f (х) = 11 v(Е, х) q (Е) г (Е) dE -+- j v(Е, х) g (c) di. (17)
о о
Это уравнение отличается от (3) лишь тем, что вместо V{x, Е) стоит V(E,
х), но так как функция Грина симметрична:
V(x, Е)= У(Е, х)
(и это здесь существенно), уравнение (17) совпадает с (3).
Итак, мы убедились, что всякая функция, удовлетворяющая схеме (6) - (8),
одновременно удовлетворяет и интегральному уравнению (3). Можно также
путем простого дифференцирования показать и обратное.
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed