Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
собственной функции ф,(х). В самом деле, если g(x)=^= 0 только в такой
точке х, где ф,(х) = 0, то
i
\gtyidx - 0.
о
Если желательно возбудить антенну в третьем обертоне, то возбуждающую
катушку можно поместить на расстоянии 1/6 от конца. Но на практике часто
дело обстоит не так просто. Получаются две связанные системы и вместо
частоты фл,- получаются две частоты; отличие между ними тем больше, чем
сильнее связь. Обычно считают, что ослабить связь - это значит уменьшить
коэффициент взаимной индукции М. Между тем "действительная связь" 1
зависит не только от величины М, но и от того, где она осуществляется
(например, в узле или пучности соответствующего колебания).
"Действительная связь" тем сильнее, чем ближе к пучности расположена
возбуждающая катушка.
В общем случае разложение (14) часто оказывается недостаточно наглядным.
Выше мы получили то же самое решение, но в замкнутом виде (13). С помощью
этого решения можно проследить за видом колебания, не суммируя ряд, что
очень неприятно. Если мы разложим (13) в ряд, мы получим (14), и
наоборот, суммирование ряда (14) приводит к формулам (13).
Мы рассмотрели случай, когда задана сила, действующая в определенной
точке. Возможна другая постановка задачи: задано
1 ["Связанность", см. 25-ю лекцию части I.] 32 Л. И. Мандельштам, том IV
498
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
движение одной из точек распределенной системы. Например, одна из точек
струны прикреплена к ножке камертона, совершающего заданные колебания.
Если решать задачу об антенне, возбуждаемой в точке, исходя не из тока, а
из напряжения, мы тоже получим случай, когда задано движение в точке, а
не сила.
Здесь интересно следующее. Будем возбуждать струну близко к резонансу.
Если задана амплитуда колебания в точке, то наиболее выгодный выбор этой
точки противоположен тому, какой был в случае заданной силы. Наиболее
сильное возбуждение будет, если данное колебание создается в узле,
наиболее слабое - если оно задается в пучности. Физически это вполне
понятно. Вблизи резонанса форма колебания близка к форме собственного
колебания; поэтому при амплитуде, заданной в узле, колебание в пучности
будет гораздо больше, чем если та же амплитуда задана в самой пучности.
О форме колебания многое можно сказать без вычислений. Пусть задан период
силы. Форма колебания, вообще говоря, не похожа ни на одно из собственных
колебаний, но есть очень изящные приемы, позволяющие решить, будут ли
узлы и сколько их будет.
Пусть, например, на струну действует в некоторой точке гармоническая
сила, частота которой меньше основной собственной частоты. В этом случае
на струне не может быть узла ни слева, ни справа от точки приложения силы
(кроме закрепленных концов струны). Это доказывается следующим образом.
Пусть сила приложена в точке А. Предположим, что в точке В возникает
узел. Закрепим точку В. Отрезок ОВ будет продолжать колебаться с частотой
ы внешней силы, т. е. эта частота является одной из собственных частот
струны ОВ. Но ни одна из собственных частот струны ОВ не может быть ниже
основной частоты всей струны и, следовательно, не может быть меньше ы. Мы
пришли к противоречию (всякое укорочение струны ведет, как мы видели, к
повышению всех собственных частот). Наше утверждение, таким образом,
доказано.
Далее можно показать, что если частота внешней силы переходит, повышаясь,
через основную частоту участка ОВ, то на этом участке появляется один
узел.
Можно сделать ряд высказываний о расположении узлов в общем случае. Это
имеет большое практическое значение в случае антенны, так как на соседних
участках, разделенных узлами тока, токи
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
499
текут в противоположных направлениях, а это существенно для излучения.
Вернемся к общей оценке интегральных уравнений. Какой смысл имело
введение этого математического аппарата?
Первое преимущество заключается в следующем. Дифференциальное уравнение
вовсе не приурочено к данной задаче. Физическая задача - это задача,
скажем, о стержне такой-то длины, с такими-то граничными условиями. Для
того, чтобы ее охватить, нужно дифференциальное уравнение плюс граничные
условия. Интегральное уравнение содержит в себе всю задачу. Оно имеет
совсем другой охват, чем дифференциальное уравнение.
Перейдем ко второму преимуществу интегральных уравнений. Возьмем,
например, поперечные колебания стержня. Они подчиняются дифференциальному
уравнению
(Ну <fiy
Р ~дх* q ~W
совершенно отличному от уравнения продольных колебаний стержня. Кроме
того, здесь возможно большее разнообразие краевых условий. Концы могут
быть свободны, или заделаны, или могут находиться на опоре. Здесь должны
быть заданы четыре граничных условия: по два для каждого конца. Например,
для свободного конца граничные условия таковы:
-^.=0 -3у=о
дх2 ' дх* "
Таким образом, здесь весь тип задачи существенно отличен от
соответствующей задачи для продольных колебаний.
Но интегральное уравнение поперечных колебаний стержня, составленное для
