Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
461
Дифференциальная схема нашей задачи эквивалентна интегральному уравнению
с функцией Грина, определенной выше. В этой эквивалентности заключается,
с одной стороны, интерес, который представляют интегральные уравнения, с
другой стороны, - их слабость, если бы дело этим ограничивалось.
Из того, что было сказано, следует, что интегральное уравнение (3) имеет
бесконечное множество собственных значений и каждому собственному
значению соответствует одна собственная функция.
Мы вывели интегральное уравнение, соответствующее определенному узкому
классу дифференциальных уравнений. Вид ядра связан определенным образом с
задачей Штурма-Лиувилля. Для специального типа интегральных уравнений,
ядра которых соответствуют дифференциальной схеме (6) - (8), мы доказали
некоторые свойства собственных чисел и собственных функций. Однако
необходима более общая теория, пригодная при любом ядре. Такая теория
существует. Теория интегральных уравнений гораздо шире, чем проблема
Штурма-Лиувилля. Ряд вопросов (например, вопрос о разложимости функций по
собственным функциям) легче, проще и изящнее решается с помощью
интегральных уравнений. Даже ради одного этого стоит их изучить.
Мне хочется изложить задачу, где ссылка на дифференциальные уравнения не
поможет. Мы получим в ней интегральное уравнение другого типа, чем (3).
Эта задача относится к теории оптического изображения1.
Пусть имеется система линз, дающая изображение (рис. 181). Каждой точке
объекта соответствует определенная точка изображения. Предположим, что
система не дает увеличения (или уменьшения). Согласно геометрической
оптике яркость в точке Мопределяет освещенность в точке М!. Но в
действительности геометрическая оптика несправедлива. Вследствие
диффракции каждой точке предмета соответствует в плоскости изображения
некоторое распределение интенсивности. Максимум находится в точке, где
было бы изображение согласно геометрической оптике, но с удалением от
этой точки интенсивность спадает постепенно.
Пусть одна точка предмета дает в плоскости изображения распределение
амплитуды
К{х, 'о
1 [Ср. том I, стр. 229.]
462
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
(амплитуда есть функция координаты точки объекта Е и координаты точки
изображения х). Если диафрагма имеет вид щели, то
где
2тс d
Lf
(d-половина ширины щели; L - длина волны; /-фокусное расстояние). Если
точка объекта перемещается, то перемещается
вся картина; поэтому К{х, Е) есть функция от х -
Амплитуда в точке х от элемента предмета длины dE есть
z(E)K(x, E)dE,
где z(E) характеризует распределение амплитуды по предмету. Картины от
отдельных элементов предмета накладываются, и результирующая
Рис. 181.
амплитуда в плоскости наблюдения имеет распределение
А{х) = \К{х, Е) Z (Н) dE
(18)
(здесь предполагается, что предмет освещен так, что отдельные его
элементы посылают когерентные колебания).
Конечно, распределение А (л:), вообще говоря, не подобно распределению z
(Е). Они только связаны между собой соотношением (18). Вообще говоря, при
изображении предмет искажается, распределение света в изображении иное,
чем в предмете. Возникают вопросы: как нужно строить оптический прибор
для того, чтобы искажение было возможно меньше? Существуют ли такие
предметы, которые не искажаются заданной оптической системой?
Если бы оказалось, что существуют такие функции z(x), для которых
(19)
где 1 - постоянная, то это означало бы, что распределения вида z (х) не
искажаются.
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
463
Подставляя (19) в (18), получаем:
ь
z{x) = \\K{x,l)z(i)dl (20)
а
Неискажаемые структуры должны удовлетворять интегральному уравнению (20),
ядро которого задано свойствами оптической системы.
Ядро уравнения (20) симметрично, но оно совсем другого типа, чем в задаче
Штурма-Лиувилля. Оно не имеет разрыва производной.
Существует ли структура, удовлетворяющая уравнению (20)?
К сожалению, ответ неутешителен. Интегральное уравнение (20) имеет
решения, но эти решения - бесконечные синусоиды. Только такие
распределения изображаются точно. Таким образом, решение существует, но
физически оно мало интересно.
Но можно поставить вопрос иначе: насколько можно приблизиться к точному
изображению? Оказывается, можно указать такие структуры, которые мало
искажаются. Можно высказать на этот счет ряд общих теорем.
Таким образом, области дифференциальных и интегральных уравнений далеко
не перекрываются. Интегральные уравнения представляют интерес и
независимо от дифференциальных уравнений.
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(131III 1932 г.)
Дополнительные замечания по теории интегральных уравнений. Вопрос о
возможности разложения произвольной функции, удовлетворяющей краевым
условиям, по робственным функциям краевой задачи.
Мы видели, что функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению и
граничным условиям задачи Штурма-Лиувилля, удовлетворяет также
определенному интегральному уравнению. Это верно также, если положить X =
0; мы имеем в этом случае
