Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Учение об интегральных уравнениях составляет обширную математическую
дисциплину. Мы не будем стремиться к полноте и строгости. Постараемся
прежде всего показать, как физические вопросы связываются с интегральными
уравнениями. Я хочу при этом сразу дать представление и о собственных и о
вынужденных колебаниях.
Результирующая сила, действующая на элемент dx стержня со стороны частей,
расположенных слева и справа, равна
446
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
В случае равновесия
где g(x)dx - внешняя сила, действующая на элемент dx. Для перехода к
динамическим процессам можно воспользоваться принципом Даламбера.
В случае дискретной системы этот принцип говорит следующее. Пусть на z-
тую точку действует результирующая сила Х(. При равновесии
Можно перейти к динамическому случаю, прибавив к Х{ "силу инерции"
(название это - весьма неудачное) -тх{ и рассуждая так же, как если бы
система находилась в равновесии.
Мы можем аналогичным образом перейти от случая равновесия к случаю
движения стержня, прибавив к объемной силе g(x)dx
"силу инерции" -qdx~t|. Мы получаем тогда уравнение
В отсутствие внешней переменной силы оно совпадает с полученным ранее1.
Пойдем дальше. Пусть внешняя сила - гармоническая:
Тогда можно удовлетворить уравнению (3) функцией у вида
Нужно найти решение этого уравнения при заданных ~к и ?(.v). Если g(x)=0,
мы возвращаемся к задаче о собственных колебаниях.
Подчеркнем, что упругая сила определяется поведением системы в данной
точке. Если дана деформация в данной точке, то этим определена и сила в
этой точке, независимо от того, что происходит в других частях системы.
1 [См. 1-ю лекцию части II.]
g(x, t) = g{x)cos^it.
у - <а(х) cos \jl t.
При этом функция <р(лг) удовлетворяет уравнению
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
447
Будем теперь решать такую статическую задачу: задано распределение сил,
требуется узнать отклонение различных точек. Отклонение в данной точке
зависит от того, что происходит в других точках, т. е. перемещение данной
точки зависит от всех сил, действующих на стержень; оно не является
дифференциальным свойством.
Напишем уравнение равновесия
p'^ = ~S(x), (4)
где g(x)-'заданная функция. Оно еще не определяет, чему равно у в любой
точке. Так, например, если концы свободны, то равновесия нет вовсе. Для
того, чтобы у было определено, нужно задать граничные условия.
Прежде чем решать задачу о равновесии под действием силы g (х),
рассмотрим сначала другую, вспомогательную задачу.
Пусть сила действует на струну в одной точке х = ?. Тогда при равновесии
струна будет иметь форму, показанную на рис. 176. Величину силы положим
равной единице. Теперь, когда сила сосредоточена в одной точке, имеется
разрыв производной ду/дх. Слева действует, вследствие натяжения струны,
сила
?]L\
дх о '
Р V дх Л=5+О
справа - сила
\дх U
При равновесии сумма трех сил равна нулю:
-Р ЙЦ-о ь Р (Й)*=5+о 1 =1°>
ИЛИ
(?L-(?L =-т- <5>
Обозначим через V{x, ?) функцию у{х) для рассматриваемого
частного случая. Ее вид зависит от того, где приложена сила.
Для х^\ имеем:
V(x, 0 = а1х, (6)
448
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДЛЯ Х^>?
V(х, I) = а2{1 х). (7)
Нужно удовлетворить двум условиям: условию непрерывности V
в точке х=?:
= а2(1 - ?),
и условию (5), которое после подстановки (6) и (7) принимает вид
1
а9 -+- а, = - .
2 1 Р
Получаются два очень простых уравнения для определения
аг и а2. Найдем из них и а2 и подставим в (6) и (7). Это дает:
V(x, 0 =
?(/ - *) f ------------------------ ДЛЯ X > I.
Наша математическая задача такова: найти непрерывную функцию у(х), такую,
что
dZg =0
dx2
у dy
во всех точках, кроме х=с, а производная непрерывна всюду,
кроме точки x = ?, где происходит скачок.
Функция удовлетворяет 1) граничным условиям, 2) дифференциальному
уравнению и 3) в точке х - с, остается непрерывной, но ее производная
терпит скачок заданной величины.
Такую функцию называют функцией влияния или функцией Грина, который
применил подобную функцию для решения задач теории потенциала.
Если мы будем решать аналогичную задачу для стержня, мы получим
совершенно то же самое. Но нас интересует другое. Будем рассматривать тот
же стержень, НО' изменим граничные условия. Пусть один конец закреплен, а
другой свободен (рис. 177). Теперь функция Грина будет другая. Левее
точки приложения силы
V(x, Q = 0l? (х<9,
правее этой точки она изображается горизонтальной линией
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
449
Остается удовлетворить условию непрерывности V(x, ?), которое в данном
случае имеет вид
а? = Ь,
и условию, определяющему величину разрыва (5) - в данном случае
1
ai -" •
р
Получается следующая функция Грина:
- ДЛЯ X < X,
V(X, 1У-
ДЛЯ X ^
Таким образом, в функции Грина учтены граничные условия.
Рис. 177.
Рис. 178.
Но спрашивается, зачем исходить из фиктивной задачи о равновесии при
силе, действующей в одной точке? Ведь нас интересует другая задача.
Дело в том, что мы рассматриваем линейные задачи и интересующая нас
задача может быть сведена на ту, которую мы только что рассмотрели.
