Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 145

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 160 >> Следующая

статическую задачу, решением которой является функция
г
9 (*) = J V(x, Z)g(Z)dl
о
464
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть вторая
Более общий класс интегральных уравнений получится, если не ограничивать
функцию V(x, ?) тем условием, что она есть функция Грина некоторой
задачи.
Мы займемся однородным интегральным уравнением, т. е. положим:
g (?) - о,
и приведем ядро к симметричному виду, вводя функцию
ф(х) = \/9(х)<р(х).
Новое симметричное ядро мы обозначим через К{х, ?), т. е.
К(х, 0=V(х, 0 \/q (х) q (?).
Новое уравнение запишется так:
i
^ м=11 к ^ ^ (r) С)
о
Мы знаем, что если ядро построено указанным способом из функции Грина, то
интегральное уравнение обладает бесконечным множеством собственных
значений и собственных функций. Существует теорема, которую мы примем без
доказательства: всякое интегральное уравнение с симметричным ядром
обладает по крайней мере одним собственным значением и соответствующей
собственной функцией. В случае несимметричного ядра может оказаться, что
интегральное уравнение не имеет ни одного решения.
Рассмотрим пример Ковалевского. Пусть ядро симметрично и имеет вид
ЛТ(х, Е) = sin тих sin Пусть, кроме того, 1=1. Тогда уравнение будет
1
ф (х)=Х sin кх sin ттЕ ф (0^ о
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
465
Такое ядро, которое можно представить как произведение вида
Ш№
называется вырожденным. В нашем примере ядро вырождено и
х
ф (х) = 1 sin тих J" ф (?) sin Tzc.dX = cl sin кх,
о
где с - постоянная.
Подставляя это выражение для ф в интегральное уравнение, находим:
1
у = [ sin2T:^ = y ,
О
откуда следует, что 1 = 2.
Возьмем теперь несимметричное ядро
К{х, I) - sin -кх cos тг?.
Повторяя прежнее вычисление, находим:
1
у j sin да; cos ^dc, - 0. о
Таким образом, уравнение не имеет собственного значения и единственное
решение - тривиальное:
ф = 0.
Пусть в рассматриваемой задаче имеется не меньше двух собственных
значений. Тогда
i
Ф-(*).= *" \К{х,1) ф. (?)</?, (2)
0
1
^п{х) = 1п\ K{x,i)i?n{i)dZ, (3)
о
причем Покажем, что если ядро симметрично, то функции
30 Л. И. Мандельштам, том IV
466
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
фт и ф" ортогональны. Умножая (2) на ^вф", а (3) - на ^тфш, вычитая и
интегрируя по х от 0 до I, находим:
г
(К - ^т) J \т (X) ф" (X) dx -
0
I I
= У^к, j' f К(х, I) [фя (?) фи (х) - фм (х) фн (0] dUx.
0 *0
Меняя в последнем члене х и \ местами, получим при симметричном ядре:
1
- J ^ш(л)фи(х)с?л: = 0,
о
т. е. функции фт и фи ортогональны. Ясно, что это условие ортогональности
совпадает с ранее выведенным для функций <р:
i
j q (х) <рю (х) <рв (х) dx = 0.
о
В задаче Штурма-Лиувилля каждому собственному значению соответствует одна
и только одна собственная функция. В общем случае в интегральном
уравнении данному собственному значению могут соответствовать п линейно
независимых собственных функций (например, в случае мембран и пластин).
Ясно, что наше доказательство ортогональности не годится для функций,
соответствующих одному и тому же собственному значению. Вообще говоря,
различные собственные функции, соответствующие одному и тому же
собственному значению, не ортогональны, но так как они линейно
независимы, систему этих функций всегда можно ортогонализировать. Легко
убедиться в этом на примере функций фх и ф2* Пусть они не ортогональны.
Можно всегда выбрать постоянные а и Ь так, чтобы функции
ф1 = а1ф1-+-61ф 2,
ф2 = а2ф!-ь62ф2
были ортогональны и нормированы, т. е. чтобы было
/ i i
j tpi (х) dx == 1, j ф|(х)с/х = 1, j ^1 (л:) 4*2 (х) dx - 0.
ООО
ТРИНАДЦАТАЯ лекция
467
Поэтому мы всегда будем считать, что система фундаментальных функций
ортогональна и нормирована. В общем случае ограниченного симметричного
ядра одному собственному значению может соответствовать больше одной
собственной функции, но число их при этом всегда конечное.
Мы знаем, что общее решение в случае струны имеет вид
У (л:, ?)- 2 <р((л:) (.4,- cos \l'Ktt-+- В; sin
г
Оно представляет собою сумму всех возможных колебаний. Если даны
начальные распределения смещений и скоростей, то колеба--ние определено
условиями:
У{х, 0)= 2 А<9Лх) = f(x),
1
2 B<\fcb{x)=F(x).
i
Если функции f(x) и F(x) могут быть разложены в ряды по собственным
функциям задачи, то коэффициенты разложения дают амплитуды колебаний.
Следовательно, вопрос заключается в возможности разложения любой функции
в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи. Докажем, что
это всегда возможно. Мы будем оперировать с функциями <]/,-, так как
разложение можно умножить на \jq (х):
2 А$< М=/М v/(7 W; (4)
i
2 В г 'АД "¦ (х) = F (х) V q (х). (5)
i
Пусть ядро симметричное. Мы выберем некоторую специальную функцию и
допустим, что ее можно разложить в ряд по собственным функциям. Мы
покажем, что в таком случае можно разложить в ряд по собственным функциям
также произвольную функцию. В качестве специальной функции мы возьмем
ядро интегрального уравнения
30*
К (х, I) = с^! (х) ч- с2ф2 (х)
(6)
468
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed