Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Так как по предположению ряд сходится равномерно, то его можно
интегрировать почленно:
/ i
J К(х, ?) (J/fc (х) dx = J" ф* (х) (х) -+- с2ф2 (х) -н... ].
о о
В силу ортогональности собственных функций разного номера и условия
нормировки
О
имеем:
i
Ск= \ К{х, $)ф*(х)</х. о
Но из интегрального уравнения видно, что интеграл равен
Ы|)
Ik •
Следовательно,
и
W+1 (?) . ФгМФгФ . Л7\
- х;--------1---------1~"' W
Выражение в правой части называется билинейной формой нашего
интегрального уравнения. Докажем, что если она сходится
равномерно, то она непременно представляет ядро. (Мы только
предположили, а не доказали, что ряд (6) сходится равномерно. Вообще,
нельзя доказать, что всякое ядро может быть разложено таким образом.)
Образуем разность
g{x,Z)=K(x,
i
Ясно, что g(x, ?) есть непрерывная и симметричная функция х и ?.
Следовательно, если мы образуем однородное интегральное уравнение с ядром
g(x, ?), то это уравнение обладает по крайней мере одним собственным
значением и одним нетривиальным решением:
i
X (*)=[* \g{x,l)l(i)dl (8)
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
469
Покажем, что решение этого уравнения х(х) ортогонально ко всем функциям
фк(х).
Умножая уравнение (8) на фл(лг) и интегрируя, получаем:
i i г I
J х(c)| J к(х,
о о I о
_j
о .¦ J
Изменив порядок суммирования и интегрирования в последнем члене (это
можно сделать, так как ряд сходится равномерно), мы получаем в силу
ортогональности ф,- и (i=^=k), что он равен
Ф" (?) л*
Но первый член в силу исходного интегрального уравнения тоже равен
Ф* (?) h '
Значит,
I
J h{x)x(x)dx = О,
О
т. е. функция х(х) ортогональна ко всем функциям ф,(х).
Покажем теперь, что функция х(х) является собственной функцией исходного
интегрального уравнения, образованного с помощью ядра К{х, с)-
Действительно,
i
X(*) = !* j =
О
= Р J *<*, l)x<S)<F,-f J 2
о 0 г '
Но в силу ортогональности х(х) ко всем ф4(л:), последний интеграл есть
нуль. Следовательно, xix) действительно есть собственная функция ядра
К(х,?).
Но тогда х(х) есть одна из функций ^,(х). Так как она ортогональна ко
всем фг (х), то она ортогональна к самой себе, и мы
470
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
пришли к противоречию. Следовательно, уравнение (8) не имеет собственной
функции, а это возможно только, если
g{x, 0 = 0,
(9)
Докажем теперь, что если ядро может быть представлено билинейной формой в
согласии с уравнением (9), то всякая функция, порождаемая ядром, т. е.
всякая функция f{x), которая может быть представлена в виде
f(x)= \K(x, 0Л(?К,
может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям
ядра.
Действительно, умножая (9) на А (?) и интегрируя, получаем
/(*) = j К(х, 1) А (c) dl = J 2 Л (0 dl
0 0 j
Если функция А(?) - ограниченная, то ряд, стоящий справа, равномерно
сходится, и, следовательно,
или
/(*)= V hix) j
г 0
/(*) = 5 с"4'(*)>
где
о
Таким образом, функция f(x) действительно может быть разложена в
равномерно сходящийся ряд по функциям ф,(х).
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
471
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(19!III 1932 г.)
Краткое резюме содержания предыдущей лекции. Вопрос об апроксимации
функции конечным числом членов ряда. Полнота системы собственных
Распределение амплитуд гармоник в зависимости от начальных условий.
Пример струны, возбуждаемой щипком и ударом. Электрический аналог
возбуждения ударом. Влияние ширины интервала возбуждения при ударе.
В прошлых лекциях мы рассмотрели вопрос о собственных колебаниях. Перед
нами возник вопрос о том, как приспособить решение к начальным условиям.
Дело сводится к тому, чтобы разложить заданную функцию, удовлетворяющую
краевым условиям, в ряд по собственным функциям. Доказательство
разложимости можно провести с помощью интегральных уравнений, пользуясь
тем, что собственные функции удовлетворяют интегральному уравнению.
Мы показали, что можно разложить в ряд по фундаментальным функциям всякую
функцию, "достижимую с помощью ядра". Какие физические указания дает это
решение?
Мы доказали, что если ряд
сходится равномерно, то он представляет собой ядро интегрального
уравнения К(х, ?):
функций. Вопрос об условиях разложимости и быстроте сходимости ряда.
оо
(1)
<=1
Часто непосредственно видно, что ряд (1) сходится. Если функция f(x)
достижима с помощью ядра, т. е.
I
f{x)=\K{x, $)Л($)<?,
(2)
(3)
472
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Подчеркнем лишний раз, что не всякая функция может быть представлена в
виде (3), а только достижимая с помощью ядра.
Представляет ли интерес то, что мы доказали? Это зависит от того,
насколько обширен класс функций, достижимых с помощью ядра, а это в свою
очередь зависит от вида ядра. Если К{х, 0 - ядро штурм-лиувиллевского
типа, то всякая непрерывная функция с непрерывной первой производной и
кусочно-непрерывной второй производной, удовлетворяющая, кроме того,
краевым условиям данной задачи Штурма-Лиувилля, может быть разложена в
ряд по собственным функциям ядра.
Формула (4) несколько неудобна тем, что выражает коэффициенты ct через
