Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в точках
x = ?fc (к = 1, 2, ...)
действуют силы, равные gk. Тогда на основании принципа
суперпозиции смещение в точке х есть сумма смещений, которые
вызы-
вали бы в этой точке силы gk, взятые в отдельности:
у(х)=%У(х, &)**• (8)
к
Переход к непрерывно распределенной силе g(x) (мы не гонимся за
математической строгостью) дает:
i
д(х)= j V(x, Qg(r)d?. (9)
О
29 Л. И. Мандельштам, том IV
450
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Таким образом, если удалось найти для рассматриваемой задачи функцию
Грина, мы тотчас же можем написать выражение (9) для отклонения,
вызываемого произвольно распределенной силой.
Функция Грина непрерывна, но ее первая производная претерпевает скачок.
Именно наличие этого скачка дает возможность представить с ее помощью
непрерывное решение интересующей нас задачи.
Поясним, как появляется функция Грина в теории потенциала.
Задача ставится так. Задано распределение потенциала <р на некоторой
замкнутой поверхности(рис.179) и, кроме того, задано распределение масс
(или зарядов) р(х, у, z). Потенциал удовле-
Наконец, требуется, чтобы в точке Р, где находится заряд, g обращалось в
бесконечность, как 1/г (г - расстояние от точки Р). Тогда, как можно
показать,
где т - объем внутри замкнутой поверхности а.
Наше уравнение (4) есть, в сущности, лапласово уравнение в одном
измерении. Требование обращения функции Грина в бесконечность типа 1/г в
трехмерном случае переходит в двухмерном случае в требование обращения в
бесконечность вида In г, а водномерном случае - в требование скачка
производной. Но во всех случаях функция Грина должна иметь особенность.
Функция вида (9) называется по-немецки quellenmassig darge-stellte
(представленной истокообразно), по-русски - порожденной данным ядром V(х,
0. Совершенно ясно, что класс функций,
творяет уравнению
б
Рассмотрим сначала случай, когда заряд сосредоточен в одной точке Р.
Соответствующий потенциал обозначим через g. Для функции g всюду, кроме
точки Р, где на-
Требуется найти потенциал в любой точке.
Л<р =--47гр.
Рис. 179.
ходится заряд,
имеем:
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
451
порожденных определенным ядром, - это сравнительно узкий класс функций,
гораздо более узкий, чем класс функций g(x). Так, например, если g (х) -
разрывная функция, то у(х)- непрерывная функция, и производная ее
непрерывна. Существует ряд теорем относительно функций, порожденных
ядром.
Уже сейчас мы имеем возможность поставить физическую задачу,
непосредственно приводящую к интегральному уравнению.
Дано распределение отклонений. Как распределена сила? Эта задача приводит
к интегральному уравнению первого рода
i
y(*)=J У(х, l)g{E)drc, (10)
о
относительно неизвестной функции g{E)-
Интеграл, стоящий в правой части (10), является решением уравнения (4),
удовлетворяющим краевым условиям задачи. Это легко проверить
подстановкой.
Укажем на одно важнее свойство функции V{x, Е). Для наших задач эта
функция симметрична:
V(x, Z)=V(E, х). (И)
Покажем это на примере струны с закрепленными концами. Пусть сначала
Е - к, x = h,
причем h<Zk. Тогда
V(h, к):
Пусть теперь
(/ - к) h Р1
?=/i, х - к (мы поменяли местами точки х и Е). Тогда
V(k, h)=i^.
Мы видим, что действительно имеет место симметрия, выражаемая формулой
(11). Эта симметрия - очень глубокое свойство. В нем проявляется далеко
идущий принцип взаимности, заключающийся в следующем.
Пусть одна и та же сила приложена один раз в точке А, другой раз в точке
В. Во втором случае в точке А будет такое же отклонение, которое имеет
место в первом случае в точке В. Можно точно указать, для какого класса
систем имеет место принцип взаимности.
29*
452
ЛЕКЦИИ ПО-КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Перейдем теперь к нашей основной динамической задаче.
Для этого в уравнение (10) подставим вместо g(Q по принципу Даламбера
g(E, t)-q(lD-g-. (12)
Мы будем считать, что внешняя сила - гармоническая:
g(Z, t) = g (c)cosv^, (13)
и будем искать решение в виде гармонического колебания
у = <р (лг) cos \fkt. (14)
Подставляя (12) - (14) в (10), получаем:
i i
?(х) = а[ У(х, О?(c)?(r)"?-*-/ V(x,
о о
где V{x> ?) - функция Грина данной задачи.
Наша функция 9 (х) удовлетворяет, таким образом, уравнению
i
? (х) = 1 j V(X, 0 q (?) 9 (?) dl -+ /(х), (15)
о
где
г
/(*)= J V(x, l)giS)dl (16)
о
Уравнение (15) является неоднородным интегральным уравнением второго
рода.
Если внешняя сила отсутствует, т. е.
/(*) = 0,
то <р(х) удовлетворяет однородному интегральному уравнению второго рода
i
<p(x) = *jK(x, 9*(c)9М. (17)
о
В этом случае нас интересует, во-первых, спектр-совокупность
значений \ и, во-вторых, собственные функции <р (х).
Ядро V(x, 0 <7(0 несимметрично, но его очень легко симметри-
зировать. Введем для этого вместо <р(х) функцию
ф (х) = \!q (х) <р (х).
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
453
Умножив обе части однородного уравнения (17) на \Jq(x), получаем
уравнение
ф(х)=[ V(x, §\lq(x)q(l) ф (?)<#*
0
или, обозначив
К{х, ?)=V(x, i)\Jq{x)q{l),
уравнение
