Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
о
т. е. интегральное уравнение с симметричным ядром.
То, что можно симметризировать ядро с помощью множителя vV (¦*), не
случайно. Это связано с тем обстоятельством, что умножение на \/q (х)
приводит от собственных функций <р,-, удовлетворяющих условию
J q (х) 9{(х) (х) dx = О,
О
к ортогональным функциям ^г-, для которых
1
j Ф> (х) <р/с (х) dx == 0. о
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(91II11932 г.)
Невозможность построить функцию Грина в случае стержня со свободными
концами. Предельный переход от задачи о колебаниях дискретной цепочки к
интегральному уравнению колебаний стержня. Эквивалентность интегрального
уравнения и дифференциальной схемы задачи Штурма - Лиувилля, Пример
физической задачи другого типа, приводящей к интегральному уравнению:
задача об идеальном оптическом изображении.
Если задана внешняя сила
g(x, t) = g{x)cos\flt (1)
(X здесь дано) и смещение стержня
У (х, *) = 9(x)cosv'H
(2)
454
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
то, как мы видели, для <р(лг) получается интегральное уравнение
i
9 (х) = л j V (х, Е) q (Е) <Р (?) di -ь/(х), (3)
О
где
i
- \ V(x, E)g(E)dE (4)
О
- заданная функция х. Если нет внешней силы, интегральное уравнение
принимает вид
i
= И*, E)q{E)<?(QdE.
О
Здесь 1 должно быть определено из самого интегрального уравнения.
V(х, Е) - функция Грина нашей задачи. Функция V(x, E)q(0 называется ядром
интегрального уравнения. На основании физического смысла функции Грина ее
часто называют функцией влияния.
Мы нашли V (х, Е) Для двух частных случаев: для стержня с закрепленными
концами и стержня с одним закрепленным концом. Если оба конца свободны,
то функцию Грина построить нельзя. Это очень типичное и интересное
обстоятельство. Постараемся его связать с уже известными нам свойствами.
Если стержень свободен, производная равна нулю на обоих
концах. Кроме того, при равновесии равно нулю всюду, кроме
точки приложения силы. Таким образом, у должно быть постоянно на
протяжении всего стержня, и нельзя удовлетворить условию скачка
производной в точке приложения силы. Подчеркнем, что несуществование
функции Грина связано не с дифференциальным уравнением, а с граничными
условиями.
В случае свободных концов одно из собственных значений есть нуль.
Уравнение
<р" -ь \q<p - О превращается при У, - 0 в уравнение
9" -О
ДВЕНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
455
с непрерывным решением
<р = const.
Если существует непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению и
граничным условиям, то не существует удовлетворяющей ему разрывной
функции. Наоборот, если не существует непрерывной функции,
удовлетворяющей дифференциальному уравнению и граничным условиям, то
существует разрывная.
Существование или несуществование функции Грина имеет ясный физический
смысл. Если стержень свободен на обоих концах, то при действии на него
силы не существует состояния равновесия. Физически этот случай является
исключительным: стержень может не только колебаться, но и двигаться
равномерно.
Однако для случая свободных концов можно построить функцию Грина в
обобщенном смысле. Для этого, кроме единичной сосредоточенной силы, нужно
приложить к стержню еще компенсирующую ее распределенную силу.
Можно рассматривать стержень как совокупность масс, соединенных
"пружинами" (довольно трудно ответить на вопрос: что лучше отражает -
действительный стержень, сплошная или дискретная модель). Мы уже
рассматривали предельный переход от дискретной модели к сплошной и
показали, что решение, получаемое для дискретной системы, в пределе
переходит в решение некоторого дифференциального уравнения в частных
производных1. Интересно провести рассуждение так, чтобы от уравнений
дискретной системы перейти к интегральному уравнению.
Возьмем "стержень11, закрепленный на одном конце и свободный на другом
(рис. 180), и поставим сначала статическую задачу (здесь также можно
перейти от статической задачи к динамической с помощью принципа
Даламбера). Пусть на каждую точку действует некоторая сила. Обозначим
через gic силу, действующую на к-ую точку. Нужно определить смещения уи
уг, ... , уп наших п частиц.
Рассмотрим сначала частный случай, когда внешняя сила, равная единице,
действует только на к-ую частицу.
1 [С м. 32-ю лекцию части I и 1-ю лекцию части II.]
456
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Пусть а - коэффициент упругости каждой пружины. Тогда результирующая
упругая сила, действующая на г-ую частицу (i=?k), есть
(.У; - у<~i) - а (г/,-4-1 - У<)
(на все частицы, кроме &-ой, другие силы не действуют). При равновесии
эта результирующая сила равна нулю, т. е.
У(-1 2г/,- i/i'+i== О
Напишем уравнение для первой частицы:
3i- #2 = 0
Рис. 180. и для последней:
У" - У,i-i = 0.
Нужно еще написать уравнение для ?-ой частицы. Здес. результирующая
упругая сила уравновешивается внешней силой, равной единице, т. е.
-Утс-i -*~2 уи - Ук+1 = -^т ¦
Для i^k смещения у{ образуют арифметическую прогрессию:
y( = ir (г'<?).
Все частицы с i^k имеют одинаковое смещение. Так как цепочка не имеет
