Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 136

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 160 >> Следующая

непрерывная функция параметра X. Неравенство (1) означает, что эта
функция-монотонно возрастающая.
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
433
Теперь мы пойдем дальше. Мы хотим доказать, что
HI, 0)<у2. (2)
Итак, полагаем Х = 0. Тогда уравнение (25) предыдущей лекции принимает
вид
6' = cos2 0. (3)
Одно частное решение можно указать сразу:
Это решение (0-постоянно) соответствует граничным условиям для случая,
когда оба конца свободны (gCj = 0, |3j = 0). Отбросим этот специальный
случай. Посмотрим, что будет в остальных случаях.
Уравнение (3) не трудно проинтегрировать. Мы получаем общее решение:
tg- 0 = х -+- С.
Отсюда следует, что если при х=0 0- Yi'Cy-, то как бы
ь 71
х ни возрастало, о остается меньше -у:
41, 0)<~2~,
Но у2 ^ -у [см. неравенство (30) предыдущей лекции], и, следовательно,
(2) доказано.
Что можно сказать об изменении 0 при неограниченном росте X? Если вместо
д(х) мы подставим в уравнение (25)
<7min,
то для данного X, вместо Х<у (л:), будет стоять меньшая функция Х/л2 (х).
Обозначим через 6 решение нового уравнения:
6' = cos2 6 н- Х/л2 sin2 0. (4)
На основании того, что мы раньше доказали, мы знаем, что если (Г(0, X) ==
0 (0, X), то Ь(х, Х)<С0(лг, X) при л>0. Следовательно, если мы докажем,
что при Х^>со величина 0(/, Х)^>оо, то это будет подавно справедливо для
0 (/, X).
28 Л. И. Мандельштам, том IV
434
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТСРАЯ
Но в уравнении (4) переменные разделяются и получается хорошо известный
интеграл:
от V^X tg- 0 = tg- (от х -+- С).
При х - 1 имеем:
от \Jl tg 0 = tg (от \/X l+C), (5)
откуда мы видим, что при X -> со также и Ш, *)-* со. Действительно, при X
таком, что
от \ л I л- С - -у-,
правая часть (5) обращается в бесконечность. При этом от \j\ tg 0 тоже
обращается в бесконечность, т. е.
При дальнейшем росте X правая часть делается отрицательной, причем по
смыслу задачи 0 при этом растет. Если в правой части, благодаря
возрастанию X, аргумент увеличивается на тс, то и в левой части аргумент
0 возрастает на тс.
Таким образом, наряду с тем, что
б (А 0)<у2,
мы доказали, что при Х-*-оо
6 (/, X) -> со.
Еще одно замечание. Число добавляющихся тс для 0 равно или больше того,
сколько раз тс прибавляется к аргументу от /. Поэтому 0 не может
обратиться в оо раньше, чем X обратится в оо.
Докажем теперь основную теорему.
На оси ординат (рис. 170) отложим отрезок ух. Построим для произвольно
выбранного X кривую 0 (лг, X). Она отсекает на прямой х = 1 некоторый
отрезок 0 (/, X).' Мы доказали, что его длина непрерывно возрастает с
ростом X. При этом кривые поворачиваются и будут при X = со пересекать
ось х - 1 в бесконечности. При некотором Х = Х0 кривая непременно попадет
в у2, при некотором X = Xj - в у2-*-тс, при некотором Х = Х2 - в у2н-2тс
и т. д.
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
435
Каждый раз, как кривая будет попадать в одну из этих точек, будет
получаться нужное нам решение, удовлетворяющее краевым условиям (28),
которые мы писали в предыдущей лекции. 0 (/, X)-- непрерывная функция X.
Непрерывная же функция пробегает все
значения в интервале между крайними точками. Отсюда мы заклю-
чаем, что наверняка существуют такие значения Х0, Xj,... параметра X,
которые можно расположить в порядке возрастания (О <1 \ <С \ "'С • • •)>
и такие, что
при х=х0 е(/, х)=у2, '
при X=Xj 0(/, Х) = у2~ьтг, при X = Х2 0 (I, X) = у2 -+- 2тг,
.................................. Лг/2
Ряд этих значений X- собственных значений нашей задачи- не может иметь
точек л сгущения в конечной области.
В самом деле, 0 (/, X)-непрерывная функция X. Если бы ^
были два сколь угодно близкие значения X, то существовали бы два сколь
угодно близкие '
значения 0(/, X), а мы знаем, 0
что этого не может быть.
Говоря физически, каждый обертон выше предыдущего и частота колебаний с
ростом обертона растет в бесконечность.
Для определенного X функция 0 однозначно определена. Это значит, что для
каждой частоты существует определенная форма колебания. Различных форм
для одной частоты быть не может.
Возьмем какое-нибудь Хи. При этом
(c)(/, Х") = у2 •+- ГТК.
Функция 0 (х, ли) - монотонно возрастающая функция, ее производная,
вообще говоря, не постоянна (рис. 170). Обращается ли собственная функция
<р = р sin G, соответствующая Х = ХН, в нуль где-нибудь на протяжении
длины стержня? И если да, то сколько раз?
Существует значение х, при котором 0 = г и sin 0 = 0. Так как 0 -
монотонная функция х, то она принимает это значение
28*
Рис. 170.
436
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
только один раз. Кривая б (х) пересекает прямые 6=2те, б = 3те,...
Имеется л таких прямых. Таким образом, внутри интервала (0, [)
собственная функция п раз обращается в нуль. Какую бы систему мы ни
взяли, л-ой гармонике всегда соответствует л узлов. Мы уже знаем, что в
однородном стержне при 7=70 нет ни одного узла, при 7 = 7Х- один узел и
т. д. (см. рис. 156. Теперешняя нумерация обертонов отличается от
прежней: n - s - 1). Число узлов (не на^концах) равно номеру обертона. Мы
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed