Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 137

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 160 >> Следующая

видим теперь,
Рис. 171.
что это свойство имеет место и в самом общем случае. Его можно описать и
так: система подразделяется на п + 1 отрезок, причем смежные отрезки
колеблются в противоположных фазах (рис. 171). Это обстоятельство очень
важно в вопросах излучения.
Есть один случай кажущегося противоречия - случай открытых концов. Мы
склонны сказать, что на рис. 172 изображен основной тон. Тут есть один
узел. Между тем при основном тоне его не должно быть. Но дело в том, что
при обоих свободных концах существует собственное значение 7=0. Мы должны
рассматривать в качестве основного тона движение, соответствующее 7 =0.
Рис. 172. Но в вопросах колебаний это
движение нас не интересует (собственная функция здесь - постоянная).
Основной тон открытой на концах антенны соответствует статическому
заряду, первый обертон - колебанию в полволны и т. д.
Мы доказали основную теорему существования. Рассмотрим теперь некоторые
ее физические следствия.
При увеличении 7 кривые 0 (лг, 7) непрерывно поднимаются. Выбрав какую-
нибудь точку В(1), мы тем самым задаем определенное значение 7. Интервалу
значений б (/) соответствует определенный интервал значений 7. Граничные
условия были такие: б (/) = у2 /гте, причем уа лежит между те/2 и те. Это
объясняется тем, что о
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
437
где р, и (32- одного знака. Последнее вытекает из физических соображений;
например: |S2/Pi есть отношение емкости на единицу длины провода к
емкости С0 приключенного к его концу конденсатора.
Будем теперь при одном и том же q (х) задавать различные граничные
условия (например, меняя емкость конденсатора.) Этим мы будем задавать
различные точки 0 (/). Но как бы мы ни изменяли емкость конденсатора, мы
не выйдем для у2 за "зарубки" тс/2 и тс. Нельзя посадить конечную точку в
интервал между тс и Зтс/2. Отсюда следует, что нельзя перекрыть всю шкалу
частот колебаний, меняя только емкость конденсатора, приключенного на
конце.
В случае однородной системы, открытой на одном конце (рис. 149, а), при
С0=со имеем:
= (6)
а при С0 = 0
= -§¦ (7)
Вращая конденсатор, мы можем перейти непрерывно от значения (6) к
значению (7), но дальше остается разрыв: первый обертон при С0 = со имеет
квадрат частоты
Разрыв между с/2/ и Зс/4/ нельзя перекрыть путем подбора С0. Есть
запретные зоны, в которые нельзя попасть, меняя условия на одном конце.
Изменим теперь, попрежнему не меняя саму распределенную систему,
граничные условия на обоих концах. Собственное значение X изменится:
увеличится или уменьшится. Наклон интегральных кривых станет всюду (т. е.
при любых х) либо больше, либо меньше, чем прежде. Будем сравнивать
интересующий нас случай со случаем закрепленных концов, когда = 0, у2 =
тс (рис. 173). Мы видим, что система дает наивысший тон тогда, когда
закреплены оба конца, а наинизший - когда оба конца свободны. При данной
распределенной системе самая низкая частота соответствует двум свободным
концам.
Вообще говоря, вычислить Хи совсем нелегко. Но можно указать некоторые
пределы, между которыми заключены Хм. Будем
433
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
сравнивать два случая. Граничные условия в обоих случаях одни и те же, но
в одном из них q = q1(x), а в другом q = q2(x). Пусть для всех х
яЛх)> Я1 (*)•
Покажем, что
Интегральные кривые 0Х и 02, соответствующие обоим q(x), должны проходить
через одни и те же концевые точки (рис. 174).
Е*ч (2) \ ", (1)
ели л "л п, то во всем интервале (0, /) имеем:
- <;>) . (1) л" q2 Хи <717
0
У Гг*(tm) /
Рис. 174.
и если в2(0) = в1(0), то при х>0 всюду 02(x)>Oi(x). Следова-
/п\
тельно, O2(0=(r)i(0 невозможно, а значит, л" равно или меньше Если <С то
может быть так, что в части интервала 02 (*)" в другой части
0'2 (х) <С 0^ (х), и равенство Ь2(1) -
= (r)i(l) возможно.
Таким образом, с увеличением ^(х) частота п-го обертона уменьшается или в
крайнем случае остается постоянной. Вспомним теперь, что
q(x) - p(x)q{x),
причем я(х) - плотность, р(х)- коэффициент упругости. Было бы ошибкой
сразу же сделать из доказанного выше заключение, что при увеличении q
частоты уменьшаются; дело в том, что р вхо-
- СВ об концы Jakp. концы
Рис. 173.
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
439
дит в уравнение, преобразованное от х к ?, а при этом преобразовании
меняется не только дифференциальное уравнение, но и длина интервала (О,
I). Но не трудно провести исследование того, как изменяются собственные
значения при изменении q. При этом получается следующий результат.
Если q(x) изменяется так, что новые значения ^(л:) всюду больше или равны
прежним, причем изменение q(x) происходит не в отдельных точках, а на
конечных интервалах, то все X уменьшаются. На основании этой теоремы
можно делать хорошие оценки собственных значений.
Заменим в уравнении
~ -+- Ц (х) <р = 0 (8)
q (х) на
m2 = <7min.
Получатся новые собственные значения X', причем
к<К-
Возьмем теперь вместо <7(х)
Л#2 = 9т".
Опять получатся новые собственные значения X", причем
к>К-
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed