Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
функцию h(i). Приведем эту формулу к другому, более удобному виду.
Умножим (2) на ф,(л) и проинтегрируем:
i
{ f(x)'bi(x)dx= j j' К(х, Qh(x)h(r)dxdZ.
и 0 0
Но
I
\K{xA)Ux)dx=^.
о
Отсюда следует, что
/ /
j / М ^ (*) dx=Y{ \ Ь h (c) di,
о о
т. е.
i
°i = | /М Ф/ (*) dx. (5)
о
Теперь коэффициенты разложения выражены непосредственно через функцию
f(x). Они вычисляются так же, как коэффициенты обычного ряда Фурье, и их
принято и в этом более общем случае называть коэффициентами Фурье нашей
функции.
Напомним, что функции ф<(лг) отличны от функций 9,(х), непосредственно
описывающих форму колебания. Между 9,¦ и имеет место соотношение
<М*)= vV ((c) 9"' (-*)•
(6)
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
473
Общее решение нашей задачи имеет вид
у (х, t) = ^ <р{(х) (Af cos fat -+- Bt sin \/V), (7)
i
причем начальные условия даются соотношениями:
у (х, о) = А?.- (х)=/ (*); (8)
i
dyS*i- = A VVf(х) = F(x). (9)
1
Умножив (8) на (х), получаем:
А4"(х) = \Jq(x)f(x),
i
откуда
/
А = J \jq (х) /(х) 4* (х) с/х.
0
Подставляя сюда (6), получаем:
i
А = j q (х) / (х) <р< (х) с/х,
о
т. е. коэффициенты разложения /(х) по функциям совпадают с коэффициентами
разложения функции s/q(x)f(x) по функциям ({/,•.
Я хотел бы упомянуть еще о другом подходе к задаче. Практически всегда
приходится ограничиваться конечным числом членов ряда (7). Возникает
вопрос: можно ли и с какой степенью точности апроксимировать функцию /(х)
конечным числом членов ряда, т. е. суммой
П
2 с"4" (х). (10)
i=i
Нужно определить, что мы будем понимать под хорошей апрокси-мацией.
Для нас важна не апроксимация при каких-нибудь отдельных значениях х, а
апроксимация в среднем на всем интервале. Поэтому
474
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
мы будем считать апроксимацию тем лучшей, чем меньше средняя квадратичная
ошибка:
Пусть, например, л = 3. Тогда задача о наилучшей апроксимации- это задача
об отыскании минимума функции (11) от трех неизвестных: с1У с2 и с3.
Оказывается - и это является замечательным фактом, что при любом п для
того, чтобы /было минимальным, нужно подобрать с,-так, чтобы они
совпадали с коэффициентами разложения в бесконечном ряде (8). Это
свойство связано с ортогональностью функций ф,-.
Если окажется, что при некотором п = п1 апроксимация, достигаемая таким
выбором с(, недостаточна, то мы присоединим еще несколько членов. При
этом коэффициенты первых членов не-придется вычислять заново. Вообще
говоря, при апроксимации функции рядом дело обстоит не так: при
добавлении дальнейших членов приходится изменять коэффициенты первых
членов разложения.
Вследствие ортогональности собственных функций формула (11) приводится к
виду
откуда сразу видно, что чем больше взято членов суммы (10), тем лучше
приближение.
Из того, что мы доказали, непосредственно следует, что при л->оо ошибка
(11) стремится к нулю.
Если ряд
(11)
сходится равномерно, то в пределе
со I
lim /=0.
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
475
Если имеет место это последнее условие, то говорят, что "функции ф,-, с
помощью которых составляются коэффициенты разложения, образуют полную
систему функций. Полнота системы собственных функций задачи Штурма-
Лиувилля и других краевых задач, встречающихся, например, в волновой
механике, является исключительно важным свойством.
Без доказательства сходимости билинейной формы (1) наши утверждения
остаются необоснованными. Это доказательство сходимости громоздко, и я не
буду его приводить. Существует теорема Мерцера о том, что в случае ядра,
все собственные числа которого положительны (а в случае задачи Штурма-
Лиувилля дело обстоит именно так), билинейная форма (1) всегда сходится.
Условием разложимости f(x) в ряд по собственным функциям являлась
непрерывность первой производной f(x), но от этого требования можно
освободиться.
Пусть дана некоторая непрерывная функция с разрывной производной. Пусть
скачок производной равен а. Функция К(х, ?) также имеет скачок
производной; он равен единице. Образуем разность
/(х)-аК(хЛ)•
Эта функция имеет непрерывную производную и, следовательно, может быть
разложена в ряд. Но сама К(х, ?) также может быть разложена в ряд.
Следовательно, и f(x) может быть разложена в ряд. Мы расширили, таким
образом, область функций, разложимых в ряд по собственным функциям.
Можно доказать, что ограничение, выражаемое требованием непрерывности
самой функции, также не нужно. Всякая кусочногладкая функция, квадрат
первой производной которой интегрируем [/' (х)]2 dx конечен^, может быть
разложена в ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. В местах
разрыва ряд дает среднее арифметическое, что хорошо известно на примере
ряда Фурье.
Когда мы вычисляем ряд, мы практически должны ограничиваться несколькими
членами. Поэтому часто сходимость ряда не представляет интереса.
Пусть для простоты <7 (а:) == 1. Тогда
у (х, t) = 'V с,<р,- (х) cos Vv,
476
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
с,- характеризует амплитуду г-го колебания. Нам часто вовсе неинтересно,
