Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
соответственно хотя бы одно решение. Мы показали, что всякая функция,
достижимая с помощью ядра, может быть разложена в ряд по собственным
функциям. При специальном виде ядра, соответствующем нашей колебательной
задаче, мы
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
483
доказали, что число собственных функций бесконечно и что всякая
непрерывная функция с кусочно-непрерывной первой производной и даже
всякая кусочно-непрерывная функция могут быть разложены в ряд по
собственным функциям.
Пусть функция /(х) разлагается в ряд по собственным функциям с
коэффициентами с,-. Система функций'-полная, если
t
\ f (x)dx=Z с?.
с *¦
Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля всегда образуют полную
систему, но, вообще говоря, для произвольной системы ортогональных
функций
i
\ fix) dx^'gc*, о f
причем знак равенства имеет место только в случае полной системы.
Можно показать, что полная система всегда замкнута, т. е. нет функции,
ортогональной ко всем функциям системы и не принадлежащей к этой системе.
Обратно: всякая замкнутая система функций является полной.
Переходим к задаче о вынужденных колебаниях.
Для простоты отождествим функции <р и ф, приняв q(x) = 1, т. е. взяв
однородную по плотности струну. Имеем неоднородное уравнение вида
i
Z (х) = /(х) -+-1 J К (х, ?) z (?) </?,
О
где
i
}{х)- )' к(х, Og(?)dZ,
О
причем /(х)--известная функция, так как ядро К(х, ?) и сила, действующая
на струну, g(?) известны. Требуется найти распределение амплитуд z(x).
Перепишем интегральное уравнение в таком виде:
г
z{x) - /{х) - 'а [ К{х, ?)z (?)<?;• (1)
о
31*
484
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ.- ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Таким образом, функция z(x) - f(x) достижима с помощью ядра К{х, |).
Следовательно, ее можно разложить в ряд по собственным функциям
однородного уравнения:
z (л) - f(x) = 2 с<^'
i
Будем считать, что задача о собственных колебаниях решена, и, значит,
функции ф<(х) известны. Тогда ct могут быть вычислены по формуле
i
с, = J (?)"?¦ (2)
о
Но функция z(x) неизвестна. С другой стороны, коэффициент Фурье с,- можно
выразить через А (?); здесь А (?) есть лz (?) и
z@MQdl (3)
О
Исключая z(?) из уравнений (2) и (3), находим:
г
(4)
о
Этим задача решена, если только Если 1 = то оба
выражения для с( несовместны, кроме того случая, когда
i i
J /(?) ф,-(?) (К, - 0. Если Х = Х,. и, кроме того, j" fyi (&,=?= 0, то
урав-о о
нение (1) не имеет решения. Таким образом, мы пришли к важной
математической теореме: неоднородное интегральное уравнение
.всегда имеет решение, если если же \ - \ и
i
то неоднородное уравнение не имеет решения. Следовательно, в общем
случае: либо однородное уравнение имеет решение, либо неоднородное
уравнение имеет решение.
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
485
Решение неоднородного уравнения таково:
тыш (5)
причем ряд сходится равномерно.
Пусть 1 = 1к и
i
]7(?)ы04=о. (6)
о
Тогда легко показать, что решение неоднородного уравнения есть
*(х)=/(х)-нХ" vj 1 j /(0ф,.(0^и,.(х)+С^. (х), (7)
"T" ( * о J
где С - произвольная постоянная, а сумму 2' следует распространить на все
значения i=f=k. Решение неоднозначно из-за произвола в выборе С.
Выясним физический смысл условия (6). Подставим в него
i
/(*)= f К(х, $g{l)dL
О
Тогда
i i
( [ К(х, l)g(i)Ux)dldx = О, о о
или, так как
(
I К{х, i) ф* (х) dx = Ц&- , о
то
i
x\gmAi)di=о,
о
т. е. функции g(x) .и фь(х) должны быть ортогональны. Если этого нет, то
неоднородное уравнение не имеет решения при \='къ Но сила, действующая на
единицу длины системы, есть g (х) cos \J\t; работа этой силы за время dt
на элементе длины dx, отнесенная к колебанию с частотой внешней силы,
есть
g (х) dx cos • <K(x)cos (\/"kkt~t-b)dt.
z(x)=/(x)+l
X,- - л J
486
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
При этом работа на протяжении всей системы будет
i
\% cos t cos (\% t-+-b)dt J g (?) (?) d?
о
Смысл условия (6) - в том, что при данном колебании внешняя сила не
производит работы; если же работа производится, то неоднородное уравнение
не имеет решения.
Итак, если частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот
системы, то, вообще говоря, неоднородное уравнение (1) не имеет решения;
оно имеет решение в частном случае, когда сила, действуя на собственное
колебание, имеющее частоту внешней силы, не производит работы.
Что означает "нет решения11? Мы знаем, что это - случай резонанса.
Физически интересен именно этот случай, а не тот, когда сила не
производит работы. Подобный же вопрос встречается и в дискретных системах
с несколькими степенями свободы. Только что доказанная теорема там тоже
имеет место, но в другом, конечно, виде; вообще говоря, либо система
однородных линейных дифференциальных уравнений имеет решение, либо
система с правыми частями имеет решение (смотря по тому, равен или не
равен нулю детерминант однородной системы).
Возьмем две степени свободы (рис. 108). При одном собственном
(нормальном) колебании ток в первом контуре есть
/п = Oj cos
и ток во втором контуре
i.n - а2 c°s wxt-
При другом собственном (нормальном) колебании ток в первом контуре
