Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимо заметить следующее: амплитуды обертонов здесь спадают, как
1/i, т. е. медленнее, чем в случае возбуждения щипком. Однако такой закон
спадания имеет место только для амплитуд обертонов с не очень большим i.
Для обертонов, длина волны которых сравнима с шириной интервала
возбуждения, это уже неверно. В противном случае мы имели бы ряд, который
мог бы не сходиться.
Возьмем антенну, открытую с обоих концов. Начальным условиям (14) здесь
соответствует случай, когда в начальный момент
¦480
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
1-0, но имеет место некоторое распределение величины dl/dt, т. е.,
согласно уравнению
dV_ _____1 д1_
дх С dt '
-некоторое начальное распределение величины V.
Условию (15) соответствует случай, когда dl/dt в начальный момент отлична
от нуля только в одной точке, причем интеграл
Рис. 183. Рис. 184.
¦остается конечным, т. е. задана разность потенциалов между двумя
отрезками антенны. Это можно осуществить с помощью искрового промежутка
(рис. 184).
В начальный момент имеем для рассматриваемого электрического случая:
о
Те обертоны, для которых точка, где расположен искровой промежуток,
является узлом, не будут возбуждаться.
Рис. 185.
Полученные нами результаты нас не вполне удовлетворяют, так как в них не
учитывается, как сказывается на распределении обертонов ширина участка,
где приложен удар. Между тем этот вопрос возникает, например, в связи с
устройством роялей. Здесь весьма существенны вопросы о том, где надо
ударять и как надо ударять. Полезно просчитать в связи с этим задачу с
некоторой заданной функцией F(x) до конца.
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
481
Я приведу пример Гельмгольца. Он принимает, что функция F(x) имеет вид,
показанный на рис. 185:
о cos-- при * - с • ... ,
FW= 1 А
Л I ^ I \ ^
I U при \х - q > 2 *
Эту функцию мы можем разложить в ряд по собственным функциям. Для
максимальной амплитуды г-го обертона мы получим следующую довольно
сложную формулу:
inh
о -"а р cos -кг
¦ / 2 , 1^5 б/
М-=.- sin
dlli I ,_7 •
та l __ ^
При малых Л и i можно зачеркнуть выражение и считать
косинус равным единице, что дает
,, 2 Р . ж
Mi = - sin ,
' fKa I '
т. e. прежнее выражение (16). Но перейдем к более высоким обертонам (г
велико). Там, наоборот, выражение (j-j-j будет велико по сравнению с
единицей и обертоны начинают спадать очень быстро, как 1 /г3. Чем шире
промежуток возбуждения А, тем менее выражены высокие обертоны.
Практически тоны выше восьмого почти незаметны. Седьмой и восьмой
обертоны обычно неприятны для уха, и их желательно погасить. Оказывается,
что достаточно расположить точку удара по середине между точками % -1/1 и
?=//8, чтобы эти обертоны были практически незаметны.
Т^мбр рояля зависит не только от ширины, но и от жесткости молоточка, и
от того как происходит удар. Этим определяется то, что можно играть на
рояли с хорошим и плохим туше.
Заметим в заключение, что мы получили в качестве побочного продукта наших
рассуждений математическую теорему о том, что любая функция, непрерывная,
имеющая кусочно-непрерывную производную и обращающаяся в нуль на концах
интервала, может быть разложена в ряд Фурье по синусам. Эта теорема
следует из того, что функции (12) являются собственными функциями
однородной струны, закрепленной на концах.
31 Л. И. Мандельштам, том IV
482
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(23/Ш 1932 г.)
Замечания о собственных колебаниях. Вынужденные колебания. Однородное и
неоднородное интегральное уравнение, альтернатива. Случай, когда внешняя
сила ортогональна к собственному колебанию. Альтернатива в случае
дискретной системы. Нарастающие решения при резонансе. Форма колебаний
при очень малой частоте внешней силы. Форма колебаний вблизи резонанса.
Зависимость амплитуды вынужденнойУ колебания от формы
внешней силы.
Введя функцию Грина, мы составили интегральное уравнение, которому
удовлетворяют колебания линейной распределенной системы.
Мы приняли, что внешняя сила является гармонической (всякую другую
интересующую нас силу можно представить как суперпозицию гармонических
сил). Тогда уравнение для функции <р(х), описывающей форму колебания,
таково:
i i
*(*) = * J V(x, J V(x, ?)*(c)<?
о о
где л - квадрат частоты внешней силы.
Если внешней силы нет, то #(?) - 0 (задача о собственных колебаниях)и
i
о(х)=А j V(x,i)q(i)<f(i)dl
О
(однородное, уравнение). Это уравнение имеет решение только при
определенных значениях \ - собственных значениях задачи, определяющих
квадраты собственных частот. Каждому собственному значению соответствует
одно решение - нормальное колебание. Общее движение есть сумма нормальных
колебаний; оно определено однозначно, если заданы расположение и скорости
всех точек при ? = 0; но при этом возникает вопрос о разложимости
произвольной функции в ряд по собственным функциям задачи.
Мы привели ядро к симметричному виду; всякое интегральное уравнение с
симметричным ядром имеет хотя бы одно собственное значение и
