Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
z'j2 = Ьх COS 0)2г,
а ток во втором контуре
222 Ь% COS
Отношения aja% и bjb2 заданы системой.
Если на такую систему действует внешняя сила частоты o>j, то будет
резонанс всегда, кроме случая, когда внешняя сила
ПЯТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
487
"распределена" так, что она "ортогональна" к "собственной функции",
соответствующей частоте Мц т. е. выполнено условие
(7 ] o'j 5 ~ g ¦ О
ортогональности векторов (а1( а2) и (Slt 32).
Физически решение всегда есть. Если имеет место совпадение частот, то
даже в отсутствие сопротивления токи имеют в каждый момент времени какое-
то значение. Физически, следовательно, надо сказать: мы искали
периодические решения вида z cos \jlt, но их не оказалось, т. е. в
системе не будет установившегося состояния. Если бы мы приняли во
внимание сопротивление, то интегральное уравнение было бы другое и
установившееся состояние при резонансе было бы возможно.
Но в отсутствие сопротивления существуют возрастающие решения, которые
также представляют интерес, так как практически процесс возрастания в
системе без затухания в течение довольно долгого времени такой же, как
при наличии не слишком большого затухания. Эти вопросы проще
рассматривать с помощью дифференциальных, а не интегральных уравнений.
В случае одной степени свободы
У ш1у ~ A cos at
при ш =^= <ю0 имеется решение
У = а cos at, (8)
где
А
а i 2 '
0> (Од
Если же м -м0, то решения вида (8) не существует, но зато существует, как
мы знаем*, нарастающее решение вида
Этой формулой можно пользоваться для исследования нарастания (в начале
процесса) в системах с небольшим затуханием.
В случае распределенной системы можно поступать так же: или вводить
затухание, или искать нарастающее решение. Здесь вопрос осложняется тем,
что распределение силы g(x) может быть
1 [См. 16-ю лекцию части L]
488
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
различное. Но оказывается, что вид процесса при всех возможных
распределениях g(x) - один и тот же.
Действительно, пусть = и сила имеет вид
g(x) cos \04t.
Напишем:
g(x) = g (х) - ?ф" (х) -+- btyi (х) = Ф (х) -+- 6ф, (х)
и подберем постоянную Ъ так, чтобы функция Ф(х) была ортогональна к
ф,(х):
i i i
j Ф(х)ф,-(х)с/х = [ g (х) i>i (х) dx - b [ ф? (х) dx = О,
О о о
или, так как функция ф,- нормирована,
г
{ g{x)tyi{x)dx - b.
о
Таким образом, внешнюю силу всегда можно разбить на ортогональную часть и
на неортогональный остаток; ортогональная часть не интересна, так как она
нарастания не дает. Неортогональная часть есть собственная функция.
Достаточно поэтому исследовать нарастание при действии внешней силы,
имеющей распределение вида собственной функции данной частоты.
Таким образом, решения однородного уравнения существуют только при
определенных значениях 1; для этих значений к неоднородное уравнение,
вообще говоря, не имеет решений, кроме тех случаев, когда /(х) имеет
специальный вид, такой, что выполнено условие (6), в котором ф^---
собственная функция, соответствующая собственному значению 1/,.
В нашем случае задачи типа Штурма-Лиувилля данному Х,с соответствует
только одна собственная функция ф*. В задачах не-штурм-лиувиллевского
типа данному может соответствовать несколько функций ф*. Тогда для того,
чтобы существовало решение неоднородного уравнения, условие
ортогональности (6) должно удовлетворяться функцией /(х) для всех функций
фк, принадлежащих к данному kt.
Если к=^=\, то общее решение однородного уравнения имеет вид
СО
i=j
(9)
ПЯТНАДЦАТАЯ лекция
489
где
i
'{< ~ j /(О Ф,- <;) d'. (10)
о
Если, например, А = ^ и собственному значению Aj соответствуют к
собственных функций: фх, ф2> . • •, ф*, и если условие ортогональности
внешней силы ко всем собственным функциям фх, ф2, ..., ф^ соблюдено, то
решение имеет вид
00 к
i =к+1 У=1
Это решение неоднозначно, ибо все bv - произвольные величины. Физически
это означает, что, кроме вынужденных колебаний, в системе останутся
собственные, с произвольными амплитудами, так как внешняя сила к ним
ортогональна и работы не производит.
Пусть А очень мало по сравнению с наименьшим собственным значением, т. е.
частота внешней силы гораздо меньше основной частоты системы:
А<А,.
Тогда приближенно решение имеет вид
00
г (*) = /(*) -+• ^ 17 ^
4=1
Если А/Х,- настолько мало, что можно пренебречь суммой, то z(x) = f(x),
или, если перейти к первоначальным функциям,
*,(*)={ V{x,
о
где Zj(x) амплитуда; V(x, ?)-функция Грина; g2(%)-приложенная сила.
Следовательно,
у{х, t)- Zi (х) cos \/Х t- -yML cos 'Jit.
Vq (x)
Ho
I
j V(x, QgAQJl 6
490
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
есть статическое отклонение под действием постоянной силы g1 (?); значит,
система в этом случае следует за действием внешней силы.
Если X подходит очень близко к значению X,-, то соответствующий член в
решении очень велик по сравнению с остальными и
приближенно
? м
Хг< Ф* ("*)
cos
\/V,
л
т. е. при подходе к резонансу с г-ым обертоном система колеблется,
независимо от формы внешней силы, с распределением амплитуд, как угодно
