Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
близким к распределению в случае собственного колебания фДх). Это сильно
упрощает дело. Но нельзя переносить эти первичные формы коле-Рис. 186.
бания на случай, когда 1 не близко к X,.;
тогда форма колебания может быть совсем иной и меняется в зависимости от
формы внешней силы. Последняя входит через величину у,-, выражаемую
формулой (10).
Будем и дальше считать, что q(x)=l, т. е. ф,- = <р,- Подставляя в (10)
значение
т= f к(х,
находим:
1
X,-
Если У. близко к X,., то амплитуда колебания все же может быть невелика.
Это будет, если у,. мало, т. е. в том случае, когда распределение внешней
силы близко к ортогональности по отношению к функции ф,'. Таким образом,
амплитуда колебания зависит не только от соотношения частот, но и от
распределения внешней силы. Величина у,- служит мерой для оценки ответа
системы на возбуждение.
Пусть, например, антенна находится под действием однородной плоской волны
(рис. 186). Тогда
g (х) = const, у,- = ут | ф,- (?) (К
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
491
Антенна будет сильно отвечать на частоты, близкие к частотам основного
тона, второго обертона и т. д. Нечетные обертоны возбуждаться не будут.
Нарастание колебаний при резонансе. Случай, когда внешняя сила
сосредоточена на малом участке. Рассмотрение того же случая с помощью
дифференциального уравнения. Зависимость амплитуды от места возбуждения.
Случай, когда задано движение в точке. Изменение числа узлов при
повышении частоты внешней силы. Сравнительная оценка интегральных и
дифференциальных уравнений. Интегральные уравнения колебаний стержня и
мембраны. Приведение задачи теории потенциала к интегральным
Продолжим рассмотрение вынужденных колебаний. Как мы видели, когда 1
(квадрат частоты внешней силы) точно равно одному из собственных значений
наша теория, не учитывающая затухания, не дает стационарного решения. В
действительности, конечно, вследствие затухания стационарное решение
существует и в этом случае. Чем меньше затухание, тем меньше те значения
при которых теория без затухания еще дает хорошее приближение.
При достаточном отличии между л и Л,- нет смысла вести расчеты с учетом
затухания. Этого часто не понимают. Ведут расчеты с учетом затухания, что
приводит к сложным и громоздким формулам. Но при 1, очень близком к лг,
нельзя пренебрегать даже малым затуханием.
Естественно попытаться получить из теории без затухания все то, что она
может дать и для случая, когда 1 близко к Оказывается, что нарастание
колебаний в начальной стадии процесса происходит при наличии затухания
почти так же, как если бы его не было. Нарастание колебаний легче всего
исследовать, исходя из дифференциального уравнения
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(29jII11932 г.)
уравнениям.
(1)
¦где
S (X, t) = g (х) COS \Jhjt.
(2)
492
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Здесь - одно из собственных значений однородного уравнения. Возьмем
начальные условия
г/=^/ = 0 при ? = 0. (3)'
Представим g(x) в таком виде:
g(x) = gi (¦*)-*-#2 W.
где g1 (х) ортогональна к <р"(х). Как мы знаем, нарастание дает только
слагаемое g<2.(x).
Составляющие g%(x) различных функций g(x) могут отличаться только на
постоянный множитель. Действительно напишем:
g (х) = [? (*) - bq (х) (r),- (х)] -4- bq (х) <р, (х).
Можно подобрать такое значение Ь, чтобы функция, стоящая в квадратных
скобках, была ортогональна к <рДх), т. е. чтобы имело место равенство
i г
[ gfidx - b [ qftdx = 0 о о
(это уравнение разрешимо относительно Ь, так как вследствие <у(х)>0
второй интеграл не равен нулю). Таким образом, достаточно исследовать
нарастание в случае
g = bqfi.
Решением, удовлетворяющим начальным условиям (3), является в этом случае
У (х, t) = ^ sin s/'kit,
что легко проверить подстановкой. Таким образом, пока не сказывается
затухание, амплитуда растет пропорционально времени.
Разберем случай внешней силы, сосредоточенной на малом участке. Этот
случай имеет место, например, при возбуждении антенны с помощью короткой
катушки (связь предполагается настолько слабой, что можно пренебречь
обратным действием антенны на возбуждающий контур). Будем считать, что
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
493
Имеем:
у,= | f(x)d/i{x)dx - -^- [ g{x)^i{x)dx.
(4)
О о
Но
(5)
О
причем
00
(6)
1=1
Следовательно,
00 I
О
и на основании (4) и выражения (9) предыдущей лекции решение уравнения
(1) предыдущей лекции можно представить в таком виде:
Сделаем предельный переход к силе, сосредоточенной в точке х = а. Будем
считать, что длина участка, на котором g{x) отлична -от нуля, стремится к
нулю, но вместе с тем плотность силы g(x) на этом участке растет
неограниченно, и притом так, что
В пределе g(x) превращается в функцию Дирака %(х - а). При атом
Прием, который мы применили, не имеет здесь математического обоснования.
Сомнение в его законности может возникнуть на основании следующих
соображений. Если участок, на котором g(x)^=0, очень мал, то для не
слишком больших i можно приближенно считать ф,(х) = const на этом
