Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 153

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 160 >> Следующая

участке. Но при достаточно большом I соответствующее ^,(х) будет заметно
осцилли-
00
J g(r)dZ= 1.
О
00
(7)
494 ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ровать на протяжении сколь угодно малого заданного участка: число нулей
функции ^(х) на любом заданном отрезке неограниченно растет с ростом г.
Однако, основываясь на том, что билинейная форма (6) сходится равномерно,
можно доказать, что ряд (7) является решением задачи о вынужденных
колебаниях в предельном случае силы, сосредоточенной в точке.
Если 1 1(, то
СО
/ \ ix) Фг (о) у / \
z{x)= 2L -%-=к а>'
1=1
и мы опять получаем статический случай. Можно сказать, что выражение (7)
есть обобщение билинейной формы (6) на случай когда сила является
гармонической.
Если сила приложена к точке х = а, колебание в точке х = Ь выражается
формулой
СО
Ш - Хл Ф<_( *)>(?).
Х.-Х '
•=1
Из нее следует для рассматриваемого случая теорема взаимности: если
электродвижущая сила приложена к точке Ь, то ток в точке а - такой же,
каким был бы ток в точке Ь, если бы сила была приложена к точке а. Таким
образом, теорема взаимности, полученная ранее1 для статического случая,
обобщена нами на случай вынужденных колебаний.
Из формулы (7) следует, что если л близко к л,-, форма (пространственное
распределение) вынужденного колебания близка к форме г-го собственного
колебания. Где бы ни была приложена сила частоты \J\, узлы г-го
собственного колебания не раскачиваются. Поэтому согласно теореме
взаимности, если сила частоты приложена к узлу г'-го колебания, это
колебание не возбудится.
Рассмотрение вынужденных колебаний с помощью интегральных уравнений
приводит к решению в виде ряда. Это иногда удобно, но недостаточно
наглядно. Иногда желательно получить решение в замкнутом виде. Покажем,
что дифференциальное уравнение приводит к решению такого вида.
1 [См. 26-ю лекцию части I.]
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
495
Рассмотрим однородную систему. Пусть э. д. с. приложена к точке х = а.
Всюду, кроме точки а, выполняются уравнения
д!___________________________
dx dt 1 дх с2 dt '
где С и L - емкость и индуктивность на единицу длины. В точке х=а
потенциал имеет скачок, так что
_1 (д[\ /дРЛ 1 !dl\ ________ldV\
fС \ дх /а-о \ dt /а-o' С \ дх /"+0 I dt /о-ю'
откуда следует, что
к,").
Пусть э. д. с. в точке х - а равна sinco?. Тогда
К+о~ K-o = sino)t'
а значит,
i { (Э.-0 " (S"+0 } = cos ai-
Ток I всюду непрерывен, так как сосредоточенных емкостей нет.
Краевым условиям задачи /(0) - /(/) = 0 удовлетворяют решения вида:
(х, ?)= .<4 sincosпри О^х^а; (9)
2 (х, t) - B sin с - cos tat при a^x^l. (10)
Постоянные А и В нужно подобрать так, чтобы удовлетворить условию
?i (")=%(")> (п)
являющемуся следствием непрерывности тока, и условию (8) для скачка
производной dljdx. Подставив (9) и (10) в (11) и (8), полу-чаем для А я В
следующие уравнения:
" . toa т> • w ' а) г".
Asm------------------В sin----------------= U;
с с
л <*>а г> <*> (* - <*) п
A cos------------н 5 cos - ------------ сС.
496
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Решая их, получаем:
. ") (/-а)
sin----------------------- S
Л - сС В = сС
(12)
Наконец, подставляя (12) в (9) и (10), получаем решение нашей задачи в
таком виде:
, со (/ - а) sin -
I(x, t) = сС-------
с . мх , п ^ ^
sm - cosuf при Usyxsya;
I(x, t) = cC
о>/
С . <0 (/- х) х
sin------------cos ыг при а<^х <^1.
W
(13)
Внешне формулы (13) выглядят сложнее, чем (7), где
ФЛ*) -^/у sin^,
но толкование решения (13) проще. Конечно, оба решения тождественны.
Только что примененный нами метод дает решение в замкнутом виде также при
учете затухания, но решение с учетом затухания является более сложным.
Вынужденное колебание, возбуждаемое гармонической силой, действующей в
одной точке, выражается формулой
У1
1 A 'V1 Ф< М Ф>'(a) (.Кг . \ (х, it)- >, -cos(v>^-bs).
(14)
Если 1 мало по сравнению со всеми имеем приближенно:
СО
У {х, t) = ^ cos е),
- в каждый данный момент имеет место статическое отклонение, причем оно
периодически меняется с частотой внешней силы. Если 1 близка к одному из
то соответствующий член является преобладающим, и можно писать
приближенно:
У (х, t)
Ф< (*) Фt (а)
X,- - л
ШЕСТНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
497
Вообще говоря, колебание (14) не совпадает по форме ни с одним из
собственных колебаний, и при вынужденных колебаниях не имеет смысла
говорить, что система колеблется в полволны и т. д. Но при подходе к
резонансу форма вынужденного колебания приближается к форме
соответствующего собственного колебания.
Здесь интересно отметить еще одно обстоятельство. Амплитуда вынужденного
колебания зависит от того, где приложена сила. При одной и той же
величине силы амплитуда вынужденного колебания тем больше, чем больше
значение фг-(х) в точке приложения силы х = а. Колебание будет наиболее
интенсивным, если сила приложена в пучности соответствующего колебания.
Если сила приложена в узле, т. е. так, что ф,(а) = 0, колебание не
возбуждается вовсе. Это - частный случай силы, ортогональной к
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed