Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
находим явное выражение для ядра g (s) в координатном представлении. Это
представление более удобно, чем импульсное, так как det Х2 = 0:
g (х", х', s) = - i (2л) 2 (del R) 1/2 ехр (х" - х') R гЬг (х" - х)
- -у (х" + х') b2bi (X" - х)
(1.10)
От выбора калибровки зависит только последний член в (1.10), который не
зависит от собственного времени s. Характеристическое уравнение для
матрицы W
z4 + z2 (Я2 - Е2) - (ЕН)2 = 0 (1.11)
имеет два вещественных корня:
Zi - -z2 = / = 2-'/. {Е2 - Н2 + [(Е2 - Н2)2 + 4 (ЯЯ)2]1/*}'/*,
(1.12а)
и два мнимых: z3 = -z4 = г со, где
со = 2-v* {Н2 - Е2 + [(Е2 - Н2)2 + 4 (ЕНуУ'^у/к (1.126)
Вычисляя в явной форме экспоненту от матрицы и используя формулы работы
[356], получаем
ехр {iys} = (со2 + /2)-1[?'4(со2 ch fs + /2 cos cos) + W X X (со3 sh fs +
f sin cos)| EH \ _1 -f- W2 (ch fs - cos cos) + W3 X
X (со sh fs - / sin cos) I EH | _1],
Эта формула справедлива в случае det W = -(EH) 2 Ф 0. В сингулярном
случае должна быть использована другая формула. Если ЕН = 0, то уравнение
(1.11), ввиду теоремы Гамильтона - Кэли [357], приводит к соотношениям W4
= a2W2, а2 = Е2 - Н2. Используя их, легко получить выражение для R (s):
R (s) = sEt -f- W a~2 (ch as - 1) + W2a~3 (sh as - as).
Мы не будем явно выписывать формулу (1.10), так как в общем случае
получающееся выражение довольно громоздко. Ограничимся рассмотрением двух
важных частных случаев. Пусть ЕН - = 0; это условие означает, что имеются
или перпендикулярные ненулевые поля, или есть только электрическое или
только магнитное поле. Производя все необходимые вычисления, можно
получить следующий результат [366]. Для определенности
263
полагаем Ег = Е3 = О, Ех = Е, а2 = Е2 - Н2: g (г", t"; г', t'\ s) = -i ia
{8sn2 sh 1 exp (z" - z')2 -f
+ ^ cth " (x" - x')2 - ± cth f [E (Г -t') + H (у" - у')]2 +
+ 2^7 (у" - У ) "Ь 77 - О]2 + ~2^У х - У х") +
+ l-l(x' + x')(f-t')}. (1.13)
Переходя к пределу Е - Н, получаем функцию Грина частицы в скрещенных
полях Е2 - Н2 = О, ЕЕ = 0:
g(s) = - i (2ns)'2 ехр [(х"-х')2+ (у"- у')2+ (z'-zf- (t"- t')2] -
- \н* (У" -У' + t" - t'f + Щ- 1у"х' - Ух" + (х + х) {*" - Ol} ¦
(1.14)
Простое выражение получается также и в другом случае, когда поля Е и Н
параллельны (Е1 = Е2 = 0, Е3 = Е):
g(s) = - г (4п)~2ЕН (sh ^sin ~j *ехр j-^ctg ~ {(х" - xf +
+ (гГ - у'П + т cthT [<2" -2')2 - & ~ 1У] +
+ Щ-(у"х'~ у'х") + ^ <2" + 2')(Г - *')} • (1Л5)
Уравнения (1.8) и (1.14) показывают, что функция Грина уравнения Клейна -
Гордона в скрещенных полях может быть выражена через функцию Грина
свободной частицы;
G (лгц, Хр) = G(,) (яц, х^, т2 +-^2 Н2 (у" - г/ -f t" - t')2) X
х ехр{^-[2/"^' - У'х"+ {x+x'){t"- О]}- (1-16)
Интеграл (1.6) легко может быть вычислен явно в случае, когда имеется
только магнитное поле. Если Е = 0, то удобно сделать фурье-преобразование
по переменным z и t. После этого интеграл
(1.6) может быть вычислен по формуле (4.5.41) из работы [358] - при этом
необходимо в интеграле (1.6) деформировать контур интегрирования так,
чтобы s -v -is', s' J>0- Функция Грина уравнения Клейна - Гордона' в
переменных х, у, pz, р0 принимает вид [366]
G {х", у", р"г, р'о; х, у', рг, р0) = - (4л)"16 (pz - pz) 6 (р" - р0) х
х Г (т - v) ехр {'7Г Wx'- У'х^} p-Wv,o(P"), (i-17)
264
где р2 = V2 Я \(х' - х'У + (у" - г/')2]; v = (р2 - pi- нг2)/2Я; ^v,o (р2)
- функция Уиттекера; Г (г) - гамма-функция. Аналогичное выражение для
нерелятивистской функции Грина было получено в работе [359]. Как
известно, полюсы функции Грина позволяют найти уровни энергии Ландау
частицы в магнитном поле: р2 = т2 + р\ + Я (2п + 1), ге = 0, 1,2, ...
Когерентные состояния квадратичной системы были построены в явной форме в
гл. III. Волновые функции ф (х, s) когерентных состояний релятивистской
частицы, отвечающие квадратичному гамильтониану (1.5), даются формулами
(4.5) гл. III, в которые следует подставить значения матриц, приведенные
в (1.9). Однако получение когерентных состояний уравнения Клейна -
Гордона является особой задачей.
Проблема состоит в том, что волновая функция Т (х), получаемая из ф (х,
s) согласно (1.4), будет являться решением уравнения Клейна - Гордона
лишь при дополнительном условии. Именно, необходимо в (1.4) выбрать такой
контур интегрирования, чтобы разность значений функции ф ехр (- im2s/2)
на концах контура обращалась в нуль. Это возможно, вообще говоря, не
всегда. Проиллюстрируем это на примере частицы, движущейся в однородном
постоянном магнитном поле Н. Гамильтониан (1.5) выражается в этом случае
просто:
Ж -= Hal"1 + 7а (Я + Р\ - Ро2), (1-18)
где оператор = (2Я)1/2 (я* - iny). Операторы и а2 - (Я/2)V* [х + Н~гЯу -
г (у - Я^я*)] являются интегралами движения. Решения уравнения (1.5)
можно выбрать в виде
Фк^пт ("•> *. ") =
= Фпт(я, У) ехр |- iEt + ipz - ~ [р2 + Я (2ге+1) - К2]}, (1.19)
где Фпт (х, у) - функции, описывающие движение в плоскости X, Y, - даются
формулой (7.15) гл. I. Они являются собственными функциями операторов
