Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
двумерного квантового осциллятора [343]. Операторы М и Ж имеют вид
Ж = i 4-1 [щ ai} (iov)jk ак + афу){-}а}как]. (3.9)
M=1/2afoijCij;
252
(По повторяйнцшйся индексам г, к, j = 1,2 ведетсй здесь й ниже
суммирование от 1 до 2.) Операторы at, at удовлетворяют стандартным
соотношениям бозевских операторов рождения и уничтожения
[ah = 6ik. (3.10)
Эти операторы удовлетворяют также условию
(а,)* = at. (3.11)
При этих условиях операторы М и Ж являются эрмитовыми и удовлетворяют
коммутационным соотношениям (3.7), в чем можно убедиться прямой и
недлинной проверкой. Поскольку операторы бесконечно малых преобразований
М и ,2Vr эрмитовы, отвечающие им операторы конечных поворотов ехр (Ш^со^)
унитарны. Унитарные представления группы Лоренца, задаваемые операторами
(3.9), называют обычно представлениями Майорана. После того как
реализовано представление группы Лоренца, т. е. указано, как
преобразуется волновая функция при переходе из одной инерциальной системы
координат в другую, можно подыскать вектор rv и тем самым получить
обобщение уравнения Дирака. В случае уравнения Майорана этот вектор
выбирают в виде
Го = V2 (atai + 1);
Г = V4 latoiji-ioy)^ + (ш^^СТдаД. (3.12)
Действительно, соотношения коммутации (3.8) выполняются, что легко
проверить прямым расчетом. Но построенный вектор Гу обладает
дополнительным свойством. Если прокоммутировать его компоненты друг с
другом, то результат выразится через векторы М и Ж (или Af|xV), что не
выполняется для произвольного вектора:
[Гц, Гу] = -Щ^.. (3.13)
Таким образом, десять величин M^v, Гр образуют замкнутую алгебру. Это
алгебра Ли группы О (3,2) или группы де Ситтера (локально-изоморфной
симплектической группе Sp (4, R); точнее, конкретного представления этой
группы, называемого лестничным представлением). Неприводимые
представления группы Лоренца задаются собственными значениями двух
операторов Казимира:
С1 = МЖ; С2 = М2 - Ж2. (3.14)
Если произвести прямой расчет, воспользовавшись для представления
Майорана формулами (3.9) и коммутационными соотношениями операторов
рождения и уничтожения (3.10), то окажется, что все операторные величины
в (3.14) сократятся, а останутся только числа, а именно:
М-Ж = 0; М2 - Ж2 = -3/4. (3.15)
253
Обычно неприводимое представление группы Лоренца задается парой чисел
(10, 1г) [341] таких, что M-2V = i/0/i, М2 - N2 = = /о + 1\ - 1- Таким
образом, получаем, что представление Майорана (3.9) приводимо и
распадается на сумму двух представлений, задаваемых парами чисел (10 = О,
1Х = г/2) и (l0 = V2, h = 0). (Представление Майорана подробно
обсуждается в работах [343- 345].) Соотношения (3.15) учитывают только
генераторы группы Лоренца. Если учесть также векторы Tv и построить
операторы Казимира группы О (3,2), то окажется, что они также являются
числами. Это легко увидеть, подсчитав с помощью (3.12) лоренц-инвариант =
Гц - Г2 = -1/2. Таким образом, неприводимая компонента представления
группы де Ситтера, задаваемого формулами (3.9), (3.12), обладает тем
свойством, что, будучи суженной па подгруппу Лорепца, остается
неприводимой. Такое же свойство имеется и у неприводимого представления
конформной группы или группы О (4,2), описывающего спектр атома водорода
[11]. Это представление остается неприводимым при сужении на подгруппу де
Ситтера О (4,1). Такие представления часто называют максимально
вырожденными. Интересно, что именно такие представления используются при
построении бесконечнокомпонентных уравнений на основе алгебраического
подхода.
Посмотрим теперь, какой спектр масс дает уравнение Майорана, т. е.
уравнение
(IV/v - т) W (х) = 0, (3.16а)
где операторы выбраны в виде (3.12). Для выяснения этого воп-
роса поступим следующим образом. Сначала перепишем уравнение (3.16а) для
фурье-компонент функции (х). Оно примет вид
(Г^Дц - т.) Ч (р) = 0. (3.166)
Здесь - не оператор, а 4-вектор энергии-импульса. Возьмем случай
времениподобного 4-импульса, т. е. pvplL 0. Тогда, совершив переход в
систему покоя, можно привести этот вектор к следующему виду: р = (р0,
0,0,0). Уравнение (3.166) в этой системе сводится к следующему уравнению:
(1>о - т) W (р) = 0. (3.17)
Таким образом, вопрос о нахождении спектра масс эквивален-
тен вопросу о диагонализации матрицы Г0 (3.12). Вид этой матрицы говорит
нам о ее спектре, фактически о спектре двумерного квантового осциллятора.
Мы получаем падающий спектр масс для инварианта р^рц, т. е.
РиРи = т\ = т.2 (s + V2)'2, (3.18)
где s - главное квантовое число фиктивного двумерного квантового
осциллятора, деленное пополам. Остается только выяснить смысл этого
числа. Для этого посмотрим на явный вид оператора квадрата момента
количества движения М2, даваемого формулой
254
(3.9). Легко непосредственно вычислить этот оператор через операторы
рождения и уничтожения. Мы будем иметь следующее:
М2 = 4*Ui (V2aik + 1), (3.19)
т. е. собственные числа оператора квадрата момента количества
движения выражаются как раз через число s:
