Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения Шредингера с гамильтонианом Ж34,
g (sj - g 12 (s) g34 (s) удовлетворяет уравнению (1.7) с полным
гамильтонианом (2.4), что легко проверяется непосредственной подстановкой
g (s) в уравнение (1.7). При подстановке следует учесть, что g12 (s) не
зависит явно от переменных ?3 и ?4, а зависит как от параметров от
собственных значений интегралов движения полного гамильтониана 13 и /4.
Функция Грина уравнения Клейна - Гордона получается подстановкой g (s) в
интеграл (1.6), причем интеграл вычисляется по лучу 0 s оо, Im s = 0.
Благодаря наличию дельта-функций этот интеграл легко берется, и в
результате получается формула [356]
Таким образом, в выбранном нами представлении для функции Грина уравнения
Крейна - Гордона в поле Aext = А + а получено замкнутое выражение, в
котором уже нет невычисленных интегралов. При / = 0 формула (2.14)
переходит в следующую:
a g12 (s) отвечает гамильтониану Ж42. Факторизованная функция
G (п , ?з, ?4> Л , 73, /4) -
X g 12 (Л"> л'. - уIn и) ехР In w) - (2.14)
где
G (if, л', /3, h) = 2Ц77Г0 (V1-) 6 {ls " /з) Х
ini1 1Л - /4 2 I з
) . (2-15)
где
1, х
0
0 (х) = Va, х - 0, 0, х 0.
Если |4 = /4, то и = 1 и (2.14) имеет вид
G(Л", ia, ад Л', h, Ь) = 4*,^-/^ 6(Л" - л')- (2-16)
274
так как g12 (т)", tj', 0) = 6 (л" - tj'). В эту формулу не входят ни со
(?4), ни Aj (Щ), а только величина /.
Если дополнительное поле отсутствует, т. е. со = / = 0, то легко получаем
простое выражение для функции Грина заряженной частицы в поле плоской
волны. Для ядра g (s) получаем
g (Г, Г, S) = П 6 С - У 6 - Ф ехр {- 4 & + li) +
к=1
^4
[li^i (т) 4" (т) - 1/2 (А\ -Г 42)] dtj . (2.17)
Отметим, что аргумент экспоненты в (2.17) тесно связан с классическим
действием для заряда в поле плоской волны [374]. Это характерное свойство
квадратичных систем.
Интеграл (1.6) при подстановке в него (2.17) тривиально вычисляется.
Функция Грина уравнения Клейна - Гордона заряженной частицы в поле
плоской волны имеет вид
G (х", х ) ------2i\l3\ ехР [т ^ т2) ( * ~ j
^4 Ч
+ -L 5 [г'Л (т) + |U22 (т) - 4 (А\ (t) + А! (t))] dt j . (2.18)
^4
Найденные выше явные выражения для функций Грина уравнения Клейна -
Гордона позволяют вычислить поправку к лагранжиану электромагнитного
поля, вызванную взаимодействием с электрон-позитронным вакуумом. Согласно
Швингеру [354], поправка к лагранжиану равна (х - четырехмерный
координатный вектор)
оо
L(1) (х) = - г ^ *- g (х, х, s) e~im's'2, (2.19)
о
где g (х, х, s) - диагональный элемент функции Грина уравнения (1.5) в
координатном представлении. Для его вычисления следует проделать
преобразование Фурье функции g (тр, ?3, ?4! Л'* 43, ?4, s) по %3 и 13. В
результате функция g3i (s) перейдет в / [4nsh (/s/2)]-1 ехр U/|4 (т]3 -
т]3)]. В функции g12 (s), параметрически зависящей от 13 и /4, следует
положить 13 = /|4 = //4. Тогда функция % (т) = ?4, т- е- не зависит от
собственного времени. Поэтому при вычислении диагональных элементов
функции Грина следует считать функции со, Alt Аг не зависящими от s и х,
175
а равными просто их значениям в точке |4. Этот вывод сохраняется,
очевидно, даже если функции со4 (|4) и со2(|4) различны: в диагональные
элементы нужно подставить со (|4) = У2 [со4 (|4) + + "2 (?4)]- При й (s)
= const функции е4 и е2 равны
е4 (s) = cos ; е2 (s) - ^ sin . (2.20)
Учитывая эти соотношения, а также считая Aj не зависящими от s, нетрудно
убедиться, что величины Aj в формулу для диагональных элементов g (s) не
входят (заметим, что для исчезновения Aj из (2.13) при "ц" = т|'
достаточно условий Aj = const и тождества ё2е4 - е2ё4 = 1, которое
является следствием уравнений (2.12) при любых й (s); явный вид функций
e4j2 (s) при этом не важен). Окончательно находим [356]
g Oli. Лг. Лз. Ль П2. Лз. s) =
= / со (14){(4л)2 с sin [У2 со (|4) s] sh (V2/s)}_1. (2.21)
Таким образом, плоская волна не вызывает дополнительной поляризации
вакуума по сравнению с полем fap (2.2), что объясняется тем, что оба
инварианта, Н2 - .Е^и НЕ, одинаковы как для поля f'ap, так и для полного
поля, включающего плоскую волну. Впервые этот результат в случае со = / =
0 был получен Швингером [354], при со = / = const - Баталиным и Фрадкиным
[365] и при со = 0, / = const - Нарожным и Никишовым [369].
! Для построения когерентных состояний, согласно изложенному выше (см.
гл. III), введем вместо интегралов движения (2.11а) их линейные
комбинации:
В (s) = ~\f сОо/2 [У2/i-р /2/СО0- ?(УгТ2- /4/сОо)] =
= y2e-iQ(s)[e(s)(|2 + igi)- e(s)(r]2 + сЦх)] -f- 6В (2.22)
и
A(s) V(r)о/2 [Уг J1 - ^г/(r)о Т i (Уг J2 Ус/(r)о)] =
= у2 eia (*) [е (s) (ih - |2) + в (s) (ц2 - ?т]4)] + 6а, (2.23)
где
S
бв = - 4- § № (Т) + iAi (т)) (е (т) e~iQ ") dr,
S
8а = 4- i &(г) -iAi (г)) ^(s (г) eia (т>) dx; (2-24)
е (s) = Y2/co0e4 + i Усо0/2е2; ее* - е*е - 2V,
со0 - значение функции й (s) при s = 0. При со = const е (s) = - 2/со ехр
(?cos/2). Нижний предел в интегралах для 6д и 6в может быть произвольным.
г276
Операторы А и В удовлетворяют соотношениям
