Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
а\а1 и а2а2, отвечающих собственным значениям пит соответственно. Однако
волновая функция Т (х), получающаяся при подстановке (1.19) в (1.4), не
удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона, так как указанная выше разность
не обращается в нуль. Это обстоятельство становится понятным, если
учесть, что параметр Е в (1.19) - произвольное число, а энергия частицы в
магнитном поле зависит от pz и п. Чтобы получить решение (1.1),
необходимо построить из волновых функций (1.19) волновой пакет.
265
Стационарные состояния (1.1) получаются из (1.19) следующим образом:
±оо
^Рг.п,т(г, 0= 27 \ ЕЛЕ\ dSCPE.P2,n,m(r' U s)
0 -оэ
= фпт(х, у)ехр (ipzz^iY'pl + m2 +Н (2п + 1) i) . (1.20)
Энергия стационарного состояния равна pt + т% + Н (2п -f- 1), а знаки +
отвечают, как обычно [360], волновым функциям частицы и античастицы.
Для нахождения явного вида когерентных состояний заряженной частицы в
магнитном поле удобно ввести новые коммутативные операторы |3 = р0 - pz и
т)4 = 1/2 (р0 + pz). Уравнение Клейна - Гордона (1.1) принимает вид
[-ЕзГ)4 + v2 (я1 + лI) + Ч2т?\ V = 0. (1.21)
Оператор |3 = I является интегралом движения. В силу этого уравнение
(1.21) на пространстве собственных функций, отвечающих собственному
значению оператора I, может рассматриваться как обычное уравнение
Шредингера, если ввести "новое время" s = (t - z)/I; !3г)4 = id Ids.
Тогда интегралы движения, порождающие когерентные состояния, таковы:
Аг = ехр {ills} ар, А2 = а2.
Волновые функции когерентных состояний являются собственными функциями
операторов Аъ а2 и I, которые отвечают собственным значениям ах, а2, I
соответственно (числа ах и а2 - комплексные, a I - действительное число),
и имеют простой вид:
Т'а1ад (Г, t) = (2л)'1 #'Лехр 1 {И21 т2) - - -f z) -
- 4" ^ + У2) + (4~) h (х - iy) а1 ехР - Т^- (i - z)] +
-]- о.2 (х -j- iy) ¦ ctx cx2 exp - ~ (t - z) j - (| ax (2 + ( a2 (2)J .
(1.22)
Функции (1.22) являются производящими для стационарных состояний Tnrnj
уравнения Клейна - Гордона
'F,
api = (1.23)
у п\ ml
n, m
где
T'nmr = Фпт (X, У) (2л) ^ exp (t + z) -
(2n+l)]}.
266
Волновая функция совпадает с (1.20), если учесть, что I =
~ Ро - Pz, Ро = пг2 + р\ + Н (2п + 1) (см. [366]).
Функции (1.22) и (1.23) удовлетворяют условиям нормировки
< 4\,mI I 'Fn'm'r > = /6 (/ - Г) ЬпП'Ьтт'\ (1.24)
I Т"1"2Г> ^ /й(7 - Л ехр [(а)* а - !/г (| а I2 + |а|2)].
Скалярное произведение определяется согласно
<Ф |"F> = i J
Функции ?m"j с I 0 описывают частицы, а с I < 0 - античастицы.
Ядро функции Грина g (s) в представлении а1: а2, pz и р0 вычисляется с
помощью решения общих соотношений (5.34) гл. III:
g (а*, p'z, ро; р, Рг, Ро; s) = 6 (p'z - pz) 6 (р' - р0) X
X ехр -^-(р2 - р2 - Я) + a*Pie-iHs + а*р2 j , (1.25)
где а = (а^ а2), р = (рх, р2).
Интеграл (1.6) вычисляется посредством формулы 4.5 (36) из работы [358] и
дает функцию Грина уравнения Клейна - Гордона
G (a*, p'z, ро; Р, рг, Ро) = <5 (Ро - Ро) <5 (Pz - Pz) {pl - pl -
- m? - H)~'e°*РФ (1, (2Я)-1 (ш2 - pl + p\ + 3Я), - a^),
(1.26)
где Ф (a, Ъ, z) - вырожденная гипергеометрическая функция [88].
Выражение, аналогичное уравнению (1 -26), может быть получено и для
случая дираковской частицы.
Рассмотрим теперь представление когерентных состояний и в случае чисто
электрического поля. Удобно выбрать оператор а в форме
a = (2Е)~ЧРг +i(pt- Ez)]. (1.27)
Тогда оператор Гамильтона Ж равен
Ж = V2 (pl + pl) + Ч2Е (a2 + О.
Решая уравнения (5.34) гл. III, получаем следующее выражение для функции
g (s) в а, рх, ру, р-представлении [366]:
g (а*, р'х, pr, р, р±, р,; s) =
= б (р\ - р() б (р'± - р±) [ch (Es)]-1!* ехр { - i2~1p\s -
- i 2_1th (Es) (a*2 + p2) + a*P [ch^s)]'1}, (1.28)
где px = (px, Pv).
267
Рассмотрим теперь движение частицы со спином */2 во внешнем
электромагнитном поле, спинорная волновая функция которой подчиняется
уравнению Дирака
(у^лф - т) и = 0. (1-29)
Матрицы у^ в (1.29) удовлетворяют следующим соотношениям:
+ V'Y* = 2^v; yt = УоУкУо-Для того чтобы найти функцию Грина уравнения
Дирака
(у^лф - т) GD (х", х') = б (х" - х'), (1.30)
подействуем на обе части уравнения (1.30) оператором у^л^ + тп.
Вводя собственное время s, представим функцию Грина в виде
ОО
GD (х\ х') = -^-(уя + т) ^ ехр (- у (tm)2s) gD (х\ х, s) ds. (1.31)
о
В формуле (1.31) оператор ул + тп действует только на переменную х". Ядро
gB (s) является временной функцией Грина уравнения Шредингера с
гамильтонианом вида
Ж = -±-л2+±Р^Ф\ (1.32)
где F^ = <V4v - д^А^\ o^v = V2 (y^yv - yvy^).
Функция Грина уравнения Шредингера может быть найдена в явном виде в
случае гамильтониана, являющегося произвольной неоднородной квадратичной
формой по отношению к операторам координат и импульсов. Следовательно,
если внешнее поле оказывается таким, что гамильтонианы (1.32) становятся
квадратичными, то и релятивистская функция Грина может быть вычислена в
представлении собственного времени в явном виде.
В стационарных и однородных внешних полях функция Грина уравнения Дирака
