Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 105

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 123 >> Следующая

производящую функцию (1.6); имеем
ехр (V2 | "1 |2 + | а2 |2 + | Pi | 2 + | Р2 |2) b<Pi, Рг lai> а2>а =
= (1/iik) ехр (Kkpip2 - ика1а2 + а2|32 + а^Д. (1.7)
Разложение (1.7) в ряд Тейлора позволяет найти, используя (1.3) и (1.5),
матричные элементы оператора S:
S-mi, m2; п,, п2 -
1 | Dm, m'(COS 0) при ТП{ф Щ И ТП\ Д> Шг,
"к Пг 2 [(_ \)т~т Dmtm' (COS0) при ГПлфщ И Ttli Д> Ш2,
(1.8)
где cos 0 = 1 - 2u2/v2, j - V2 (mx + n2), m = V2 (n1 - m2); m' = V2 (m1 -
n2), a D3m,m' (cos 0)-функция определена согласно работе [388]. Случай т2
Д> т1 получается из (1.8) заменой ;=? п2, т1 ц? т2.
Матричные элементы преобразования Боголюбова с к = О приведены в [85,
186], а также в работе [379].
280
Заметим, что в случае общего линейного канонического пре-
лексные числа, соответствующий матричный элемент оператора преобразования
можно явно выразить, используя результат работы [43], через полином
Эрмита от п переменных.
§ 2. Когерентные состояния симметричного волчка
Различные авторы [382-385] вводили когерентные состояния для
симметричного волчка разными способами. В частности, когерентные
состояния можно понимать как состояния, в которых задана начальная точка
траектории волчка в фазовом пространстве средних обобщенных координат и
импульсов. Можно, однако, воспользоваться еще одним важным свойством
когерентных состояний, а именно тем, что они задают производящую функцию
для таких состояний квантовых систем, которые характеризуются дискретными
квантовыми числами. В частности, если известны амплитуды переходов между
когерентными состояниями
то можно определить аналоги когерентных состояний для квантовых систем,
чьи волновые функции суть матричные элементы представлений группы G,
следующей формулой: <,g | а, | |3g>. Здесь есть вектор, полученный дейст-
вием преобразования g, принадлежащего группе G, на вектор р.- = #Р, т. е.
совокупность {pg, ^eG} представляет собой
некоторую орбиту [202-204]. Следуя вышеуказанной конструкции, мы построим
волновые пакеты, являющиеся аналогами когерентных состояний для
симметричного волчка. Используя их, найдем новые производящие функции для
d-функции. Следуемые из них интегральные представления d-функции будут
использованы для нахождения асимптотических выражений в области больших
квантовых чисел.
Гамильтониан асимметричного волчка с моментами инерции Ilt 12 и 13 имеет
вид
где /i - операторы углового момента - генераторы алгебры Ли группы О (3).
Если все моменты инерции /, = I одинаковы, то волчок является сферически-
симметричным и гамильтониан Ж в этом случае пропорционаленТоператору
квадрата момента /2, который является оператором Казимира группы вращений
О (3). Волновые функции 'F стационарных состояний симметричного волчка,
отвечающие энергии Ej = h2J (/ + 1)/2/, связаны с матричными элементами
неприводимого представления группы О (3)
образования d; = 2J uik^k + Vikak -f- Я*, где uik, vik, Я, - комп-
к=1
Каи • • ') ап | Pi) • • • ) Р"> | Р^)
(2.1)
281
с моментом /. Как известно [386, 387], в представлении углов Эйлера фц 0,
ф2 волновые функции стационарных состояний можно записать в виде Ф1 (ф15
0, ф2) = ехр [-i (me+ тф2)] ф, причем ф удовлетворяет уравнению
Шредингера
1Г [<' - г!) зг] * + И + *) - T-'i + ] Ч - °. (2-2)
где z - cos 0. Решение уравнения (2.2) можно выразить через d-функцию
Вигнера [320, 388], являющуюся матричным элементом неприводимого
представления группы вращений О (3):
<4,т' (9) = </. m\e~lfiJy\j,m').
Состояния волчка | j, т, т'У, отвечающие квантовым числам /, т, т ,
выбираем ортонормированными:
w2i mi\1v т1У ~ (2-3)
В представлении углов Эйлера эти состояния связаны с D-функ-цией:
<ф1, 0, ф21 j, т, тп') =- D3m, т' (фь 9. Фг), (2.4)
где Dlt т- (ф1, 0, Ф2) = <&, п. (0) N} = 8л2/(2j + 1).
Рассмотрим волновые пакеты | а>, являющиеся суперпозицией стационарных
состояний | /, т, т'У, вида
оо }
|а> = ехр( I-<**<*) ^ ^ C}N}X
j = о т, m'-~j
aj+maai+m'ai~m'
X ¦¦¦.= г | j, m, m), (2.5)
V (/ - m)! (/ + го)! (/ - Го')! (/ + m')!
где а = (alt а2, а3, а4) - произвольные комплексные числа, а коэффициенты
С j можно выбирать различным образом. Волновые пакеты типа (2.5) с Cj =
1, / = 0,1/г, 1, . . ., встречаются при рассмотрении задачи о движении
заряженной частицы в переменном магнитном поле (см. § 4 гл. II). Если
коэффициенты Cj выбрать равными }/"(2/)!, то волновые пакеты (2.5) будут
аналогичны когерентным состояниям асимметричного волчка [389].
Характерно, что средние значения <а | /г- (t) \аУ = J\ гейзенберговских
операторов Jt (t), вычисленные с помощью когерентных состояний
асимметричного волчка, определенных так, как показано в [389],
удовлетворяют классическим уравнениям Эйлера [390] вида
/х (13 - /2) Q2Q3 = 0;
/2 + (Л - h) = 0; <2-6)
j3 -j- (/2 - /х) Q1U2 = о, где Q (() = Jj (t)/I} (j = 1, 2, 3).
282
Далее будем рассматривать (следуя [392]) только когерентные состояния |
а) (2.5) с Cj = 1. В представлении углов Эйлера когерентное состояние
(2.5) имеет вид
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed