Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
М2Ч = s (s + 1) W. (3.20)
Таким образом, смысл числа а, стоящего в формуле для спектра масс,
заключается в том, что это число совпадает со спином состояния. Как видно
из формул (3.19), (3.20), спин sможет принимать любые целые и полуцелые
значения. Это обстоятельство связано с тем, что представление группы
Лоренца, задаваемое формулами (3.9), приводимо. Одна неприводимая
компонента (/" = V2, = 0)
содержит только полуцелые значения спина, а вторая неприводимая
компонента содержит только целые значения спина. Подпространство
состояний, отвечающих первому случаю, состоит из всех векторов состояний,
разлагающихся только по нечетным состояниям двумерного квантового
осциллятора, а подпространство состояний, отвечающих целым спинам, есть
линейное подпространство с базисом из четных состояний двумерного
осциллятора. Поэтому, говоря об уравнении Майорана, необходимо
конкретизировать, по какому именно неприводимому представлению
преобразуется волновая функция, поскольку формулы для генераторов
(3.9) имеют один вид в обоих представлениях. Конкретизация достигается
наложением дополнительного условия на четность главного квантового числа
фиктивного двумерного квантового осциллятора. Спектр масс (3.18) является
падающим спектром.
Обсудим теперь динамическую симметрию уравнения Майорана в
рассматриваемом в предыдущих параграфах смысле (см. § 3 гл. I). Группой
инвариантности уравнения Майорана в системе покоя (3.17) является,
очевидно, группа U (2). Ее четыре генератора строятся из операторов аь af
(г = 1, 2) по формуле Т№ = а^а1с. Однако спектр масс уравнения Майорана,
поскольку он аналогичен спектру гамильтониана двумерного осциллятора,
можно описать, как и при рассмотрении релятивистских осцилляторных
моделей, с помощью группы динамической симметрии U (2, 1). Генераторы
этой группы объединяют в одно представление все уровни, отвечающие
значениям масс (3.18) как с целыми, так и с полуце-лыми спинами. Формулы
для генераторов аналогичны строившимся в предыдущем параграфе.
§ 4. Симметрия уравнений движения
свободной релятивистской частицы
Гамильтониан для свободной релятивистской частицы со спином V2 имеет вид
Ж = ар + [3 т., (4.1)
255
где аир - стандартные четырехрядные матрицы Дирака [196].
С оператором Ж коммутируют оператор полного момента j и оператор Дирака
К = [3 (oL + 1). (4.2)
В силу этого состояния с определенной энергией Е можно выбрать так, чтобы
они обладали определенным полным моментом j2, его проекцией ]г и
оператором Дирака К:
Ж^Ект = E'YEkml К^Ект = Ект\
(4.3)
iz^Ekm = j^Ekm = (&2 - Vl) У Ект-
Бесконечный набор волновых функций с / = V2, 3/2, 5/2 и & = = +| / + V21
(где к-собственное значение оператора Дирака) образует базис в
пространстве состояний с определенной энергией Е. Легко проверить, что
операторы Ху.
У - • у - • у _ К (А А\
|р| ' 2~ \ К\ ' 3 \К Г ^ >
где А = ([L X р] - [_р X Х/])/2 (р|,р = (#2 - иг2)1/2, коммутируют с
полным моментом j и свободным гамильтонианом Ж [56]. Операторы Xj
подчиняются коммутационным соотношениям
[Ха, Хр] = 2ieaPvXv; {Ха, Хр) = 2баР (4.5)
и, следовательно, являются генераторами спиральной группы SU (2).
Название "спиральная группа" связано с тем, то оператор Хх является
оператором спира льности.
В двумерном пространстве состояний с заданными энергией, квадратом
момента j2 и проекцией /z, базис в котором образуют функции Ysum с
разными к - + J ] + lU J, матрицы операторов Ха совпадают с a-матрицами
Паули. Двукратное вырождение по знаку к объясняется наличием спиральной
группы симметрии
SU (2).
Следуя [56], определим операторы:
L = ^2L + о - р Р(а - pjfp)} ¦,
s = + (4-б)
^ = 2|V|U:PX?]-[ZX;p]},
Легко проверить, что эти операторы коммутируют с гамильтонианом (4.1) и
удовлетворяют коммутационным соотношениям прямого произведения группы
Лоренца и унитарной группы
256
SU(2):
[L(, Lj] = ietjiLi, Aj] ~ гешлi,
[Aj, Aj] = -i&uiLi\ [Lt, S,-] = [Aj, 2y] = 0; (4.7)
[2b 2Д = 2izm%
Таким образом, в бесконечномерном пространстве состояний Тек(tm) с заданной
энергией реализуется унитарное представление группы SL (2, С) (g) SU (2),
являющееся тензорным произведением представления группы Лоренца с р = 0 и
т = 0 (см. [50]) и спинор-ного представления группы SU (2). Легко
сосчитать операторы Казимира для алгебры (4.6). Имеем
Сх = (L + iA)2 = -1; S2 = 3, С2 = (L - iA)2 = 1.
Отсюда и вытекает сформулированный вывод.
Покажем теперь, что в данной задаче возможно появление не вполне
приводимого представления группы Лоренца. Для этого рассмотрим, следуя
[56], два векторных оператора:
j = L + 2/2; к = А + il!2. (4.8)
Эти операторы обладают коммутационными соотношениями алгебры Ли группы SL
(2, С):
[/i? 1 щ] i&imlj h ^
[fk> km\
Оператор j есть оператор полного момента количества движения. Вычислим
теперь операторы Казимира этой группы. Имеем
= (j + ikf = -1;
С, = U - Ш? = -2 (1 + Хх) К\ С\ = 0.
Это означает, что данное представление не вполне приводимо. В двумерном
